最后更新: 2025-12-06 16:13 查看: 29 次纠错评论(0) 课件开VIP

因果性

7.9 因 果 性

与平直闵氏时空不同，弯曲时空中的因果性要复杂得多。我们暂时假设时空背景是固定的，而只讨论其中物质随时间的变化，以及伴随着的因果性。由等效原理，时空局部是平直的，因此没有任何信号的传播可以超过光速．因果曲线指的是在曲线上任何事件点曲线都是类时或者类光的。给定时空流形的子集 $S \in M$ ，定义 $S$ 的因果未来 $J^{+}(S)$ 是从 $S$ 出发指向未来的因果曲线能够达到的所有时空点的集合。而定义 $S$ 的编时（chronological）未来 $I^{+}(S)$ 是 $J^{+}(S)$ 中通过类时曲线与 $S$ 相连的时空点的集合。显然，$I^{+}(S)$ 是 $J^{+}(S)$ 的一个子集，这也意味着 $J^{+}(S)$ 中不属于 $I^{+}(S)$ 的时空点与 $S$通过类光曲线相连。 $S \in M$ 称为非编时（achronal）的，如果 $S$ 中没有两个点可以通过一条类时曲线相连．例如在闵氏时空中一个无边界的类空超曲面就是非编时的．

给定一个闭的非编时集合 $S$ ，定义 $S$ 的未来相关域（future domain of dependence，记作 $\left.D^{+}(S)\right)$ 为一个点集合，穿过这个集合中点 $P$ 的任意指向过去的类时或者类光的、可以无穷延展（inextendible）的曲线必然与 $S$ 相交。这里无穷延展指的是曲线可以一直延伸下去，不会终于某点．显然，$S \in D^{+}(S)$ ．类似地，我们可以定义 $S$ 的过去相关域 $D^{-}(S)$ ，只要把上面定义中指向过去的曲线换作指向未来的曲线即可。进一步地，我们可以定义未来柯西视界 $H^{+}(S)$ 为 $D^{+}(S)$ 的边界，而过去柯西视界 $H^{-}(S)$ 为 $D^{-}(S)$ 的边界．易见两个柯西视界 $H^{+}(S), H^{-}(S)$ 都是零曲面．参见图 7．4．

![图片](/uploads/2025-12/86b7b2.jpg)
 
 与集合 $S$ 相关的因果区域是 $D(S)=D^{+}(S) \cup D^{-}(S)$ ：知道 $S$ 发生了什么，我们就可以预言 $D(S)$ 上会发生什么或者已经发生了什么。我们可以考虑一个足够大的闭的非编时曲面 $\Sigma$ ，即使它很好地延展到整个空间上，$D(\Sigma)=D^{+}(\Sigma) \cup D^{-}(\Sigma)$ 也可能无法覆盖整个时空流形。这与平直闵氏时空截然不同。一个闭的非编时曲面 $\Sigma$ 称为一个柯西面，如果 $D(\Sigma)$ 是整个时空流形。因此，在一个柯西面上给定了信息，我们就知道了整个时空流形上发生了什么或者即将发生什么．如果一个时空流形有一个柯西面，则这个时空流形称为整体双曲的（globally hyperbolic）．显然整体双曲的时空流形具有比较好的因果结构，以及更好定义的初值问题。

任何闭的非编时无边界的集合都称作部分柯西面（partial Cauchy surface）。它可以是真正的柯西面，也可以不是．后一种情况意味着 $D(\Sigma)$ 不能覆盖整个时空流形 $M$ ．这时有两种可能性：
（1）曲面 $\Sigma$ 的问题．我们选择了一个＂坏＂的超曲面，如图7．5所示，我们选择的曲面 $\Sigma$ ，其未来相关域总在点 $P$ 的过去相关域中，因此无法覆盖点 $P$ 的未来．
（2）时空的问题．时空中存在闭合类时曲线（closed timelike curve）或者内禀奇点．这两种情形都意味着时空本身是＂病态＂的．

![图片](/uploads/2025-12/defd1c.jpg)
 
 闭合类时曲线在牛顿引力中是不存在的，因为其中的时间有绝对的意义，一直向前。而在狭义相对论的闵氏时空中，时间更受限制，不但是向前的，而且必须在光锥中， $v \leqslant c$ ．在广义相对论中，有质量粒子的运动必须在其向前的光锥中．然而，这只是局域的概念，整体上，由于曲率的存在有可能从一个地方到另一个地方时光锥发生倾斜。原则上，倾斜的光锥内部的世界线到处都是类时的，但有可能在某一点与其自身相交．这样一条世界线称为闭合类时曲线．闭合类时曲线的存在对初值问题是一个巨大的挑战。
 
 例 7.6 米斯纳（Misner）时空。
闭合类时曲线的一个典型例子是米斯纳时空．考虑一个二维时空，具有度规

$$
\mathrm{d} s^2=-\cos \lambda \mathrm{d} t^2-\sin \lambda(\mathrm{d} t \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} t)+\cos \lambda \mathrm{d} x^2
$$

其中

$$
\lambda=\pi-\cot ^{-1} t= \begin{cases}0, & t=-\infty \\ \pi, & t=\infty\end{cases}
$$

此外，$x$ 方向是闭合的，具有周期性，不妨设为 $(t, x): x \sim x+1$ 。这个时空并非爱因斯坦方程的严格解。我们可以把它看作某个时空流形来研究．拓扑上，这个流形是 $R \times S^1$ ，即一个圆柱面．这样一个流形是有闭合类时曲线的．当 $t<0$ 时，$t$ 坐标是类时坐标，即 $\partial_t$ 是类时的．而当 $t>0$ 时，$x$ 变成了类时坐标，这是由于此时 $t>0, \cot ^{-1} t<\pi / 2, \cos \lambda<0$ ，所以 $\partial_x$ 变成类时的．由于 $x$ 方向是闭合的，因此当 $t>0$ 时时空存在闭合类时曲线．其光锥结构如图7．6所示．如果我们在 $t<0$ 时选择一个超曲面 $\Sigma$ ，则包含闭合类时曲线的区域中没有点在 $\Sigma$ 的因果相关域中。闭合类时曲线本身不会和 $\Sigma$ 相交．

![图片](/uploads/2025-12/d88b6f.jpg)
 
  时空的另一个可能的病态行为来自奇点．奇点原则上不属于流形的一部分，尽管它们可以通过测地线经过有限距离达到．有时，奇点即是测地不完备的点．通常，这些点处时空的曲率标量是发散的。此时会导致柯西视界的出现：在奇点未来的一个点 $P$不可能与一个处于奇点过去的超曲面相关，因为经过点 $P$ 的过去的曲线必然终止于奇点上，而无法继续延伸到超曲面上．由于引力的吸引性，奇点的产生是无法避免的．

闭合类时曲线和奇点的存在对初值问题有着重要的影响．通常，选择一个不好的初始超曲面并不常见，特别是时空流形可以完全整体求解时。如果选择了坏的超曲面将会导致爱因斯坦方程数值求解碰到困难．存在闭合类时曲线的流形是病态的，然而一般的初值演化并不会生成这种流形．但是，由奇点定理我们知道，时空奇点的产生在时空演化时经常是不可避免的，它将对初值问题造成严重的影响．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册