最后更新: 2025-12-06 16:11 查看: 27 次纠错评论(0) 课件开VIP

能量条件

7.8 能 量 条 件

广义相对论中爱因斯坦方程的右边是能动张量，它决定了时空是如何被弯曲的．一个有趣的问题是什么样的能动张量是物理上允许的，或者说合理的．另一个相关的问题是给定满足一定条件的能动张量，它对时空的物理影响是什么．这两个问题都与所谓的＂能量条件＂相关．由于能动张量的具体形式与坐标的选择有关，也就是与不同的观测者有关，我们希望能量条件是一个与坐标选择无关的量，也就是说我们可以通过能动张量构造一个标量．如果一个观测者的 4 －速度是 $\xi^\mu$ ，则他测量到的物质能量密度为 $T_{\mu \nu} \xi^\mu \xi^\nu$ ．由此我们可以定义不同的能量条件．

一个常见的能量条件是所谓的弱能量条件（weak energy condition，简记为 WEC）．
弱能量条件 对所有的观测者，

$$
T_{\mu \nu} t^\mu t^\nu \geqslant 0,
$$

这里 $t^\mu$ 是任意观测者的 4 －速度．考虑理想流体的能动张量 $T_{\mu \nu}=(\rho+p) u_\mu u_\nu+p g_{\mu \nu}$ ，条件（7．187）将给出

$$
\rho \geqslant 0, \quad \rho+p \geqslant 0 .
$$

弱能量条件的表述似乎是要求所有观测者看到的理想流体的能量密度必须是非负的，但上面的讨论表明它不仅对理想流体中的能量密度有要求，也对压强给出了限制。

另一个与弱能量条件类似的能量条件是所谓的零能量条件（null energy condition，简记为 NEC）．

零能量条件 对于任意的零矢量 $l^\mu$ ，

$$
T_{\mu \nu} l^\mu l^\nu \geqslant 0 .
$$

易见，NEC 只是把 WEC 中的类时矢量换成了类光矢量．对理想流体而言，我们有
$$
(\rho+p)(\widehat{l} \cdot \widehat{u})^2 \geqslant 0,
$$

因此，NEC 要求

$$
\rho+p \geqslant 0 .
$$

再一个重要的能量条件是所谓的主能量条件（dominant energy condition，简记为 DEC）．它不止对观测者看到的物质的能量密度进行了限制，还对观测者看到的物质的能流给出了限制．

主能量条件 对 4 －速度为 $t^\mu$ 的任意观测者，

$$
T_{\mu \nu} t^\mu t^\nu \geqslant 0,
$$

而且 $-T^\mu{ }_\nu t^\nu$ 必须是指向未来的类时或者零矢量．这实际上要求

$$
\rho \geqslant 0, \quad \rho \geqslant|p| .
$$

类似地，我们可以定义零主能量条件（null dominant energy condition，简记为 NDEC ），只需要把上面的类时矢量 $t^\mu$ 换成类光矢量即可。此时，$\rho$ 可以是负的，只要 $p=-\rho$ ．

最后一个重要的能量条件是所谓的强能量条件（strong energy condition，简记为 SEC）．实际上这个条件来自对奇点定理的证明．物理上我们可以期待物质的压强不会太大，且不是负的，因此可以要求

$$
T_{\mu \nu} t^\mu t^\nu+\frac{1}{2} T \geqslant 0 .
$$

由爱因斯坦方程，这等价于

$$
R_{\mu \nu} t^\mu t^\nu \geqslant 0 .
$$

类似于前面的分析，对于理想流体，条件（7．195）给出

$$
\rho+3 p \geqslant 0, \quad \rho+p \geqslant 0 .
$$

SEC 的一个最重要的应用是对雷乔杜里方程的讨论，从而证明奇点定理．
上面的讨论显示 DEC 比 WEC 要强，而绝大部分的经典物质都满足 DEC．例如对于一个无质量标量场，

$$
T_{\mu \nu}=\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi-\frac{1}{2} g_{\mu \nu}(\partial \phi)^2
$$

可以证明它满足 DEC．对于有质量标量场，它破坏了 SEC．而如果考虑场的量子效应，任何能量条件都有可能被破坏。另一方面，能动量守恒方程 $\nabla_\mu T^{\mu \nu}=0$ 实际上防止了非物理过程的发生，如能量的传播不会超光速、真空不会自发衰变到 $E$ 和 $-E$ ．

与能量条件相关的有两个有名的定理．第一个是霍金和艾利斯（Ellis）的守恒定理．

守恒定理（霍金和艾利斯）如果 $T_{\mu \nu}$ 满足 DEC 且在某类空区域中为零，则它在与此类空区域因果相联的未来域中总是为零。

这个定理表明能量不会无缘无故产生，也不会溜到光锥以外．另一个与能量条件相关的著名定理是所谓的正能定理（positive energy theorem）．

正能定理 满足爱因斯坦方程 $G_{\mu \nu}=8 \pi G T_{\mu \nu}$ 的渐近平直时空的 ADM 能量（7）是半正定的， ADM 能量为零当且仅当时空是闵氏时空而 $T_{\mu \nu}=0$ ．定理的成立要求以下条件：
（1）存在初始非奇异柯西（Cauchy）面（否则 $M<0$ 的源成为反例）；
（2）$T_{\mu \nu}$ 满足 DEC ；
（3）其他一些技术假设。
正能定理中柯西面的定义见 7.9 节。正能定理最早由是绍恩（Shoen）和丘成桐 （Yau）利用几何分析的技术证明的，稍后威腾（Witten）利用流形上旋量场的技术给出了更加物理的证明。正能定理的重要之处在于证明了闵氏时空是稳定的最低能量态，可以当作真空态来看待，而其他的渐近平直时空都是激发态．

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