最后更新: 2025-12-23 11:31 查看: 5 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

引力辐射的能量损耗

11.4 引力辐射的能量损耗

由于引力辐射携带能动张量，因而会产生能量损耗．这为我们间接探测引力波提供了线索．实际上，在 2015 年引力波被直接观测到之前，对引力波的支持都来自间接证据，其中最有名的就是对双星系统轨道变化的精确观测。由于双星系统存在引力辐射，能量损耗以后双星的轨道周期发生了变化，这个变化的理论预言与实验符合得很好，有力地支持了引力波的存在．

引力波的能量损耗可以通过计算引力波的能量损失率来得到．辐射到无穷远的总能量为

$$
\Delta E=\int P \mathrm{~d} t
$$

其中辐射功率为

$$
P=\int_{S_{\infty}^2} t_{0 \mu} n^\mu r^2 \mathrm{~d} \Omega
$$

$S_{\infty}^2$ 是在空间无穷远处的二维球面 $S^2, n^\mu$ 是垂直于该球面的一个单位类空矢量，在极坐标系 $(t, r, \theta, \phi)$ 下

$$
n^\mu=(0,1,0,0) .
$$

我们可以定义一个投影算子 $P_{i j}=\delta_{i j}-n_i n_j$ ，它把张量投影到与 $n_i$ 垂直的分量上．取定 $n_i$ 平行于传播方向，则 $P_{i j}$ 就把一个对称类空张量 $X_{k l}$ 投影到 $S_{\infty}^2$ 的球面上，

$$
X_{i j}^{\mathrm{TT}}=\left(P_i^k P_j^l-\frac{1}{2} P_{i j} P^{k l}\right) X_{k l} .
$$

我们前面已经给出 $\bar{h}_{i j}^{\mathrm{TT}}=h_{i j}^{\mathrm{TT}}=\frac{2 G}{r} \frac{\mathrm{~d}^2 q_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{d} t^2}(t-r) . q^{i j}$ 有可能包含一些难以确定的能量密度的积分，因此我们定义一个约化四极矩：

$$
J_{i j}=q_{i j}-\frac{1}{3} \delta_{i j} \delta^{k l} q_{k l}
$$

它是 $q^{i j}$ 的无迹部分．实际上，在牛顿引力势的多极展开中出现的就是约化四极矩：

$$
\Phi=-\frac{G M}{r}-\frac{G}{r^3} D_i x^i-\frac{3 G}{2 r^5} J_{i j} x^i x^j+\cdots
$$

其中 $D_i=\int T^{00} x^i \mathrm{~d} x^3$ 是质量偶极矩．在 TT 规范下，$q_{i j}^{\mathrm{TT}}=J_{i j}^{\mathrm{TT}}$ ，所以

$$
h_{i j}^{\mathrm{TT}}=\frac{2 G}{r} \frac{\mathrm{~d}^2 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^2}(t-r)
$$

如果引力波的传播是沿径向方向，$t_{0 \mu} n^\mu=t_{0 r}$ ，则此时的约化四极矩以及引力波的能动张量分别为
$$
\begin{aligned}
\partial_0 h_{i j}^{\mathrm{TT}} & =\frac{2 G}{r} \frac{\mathrm{~d}^3 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^3}, \\
\partial_r h_{i j}^{\mathrm{TT}} & =-\frac{2 G}{r} \frac{\mathrm{~d}^3 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^3}-\frac{2 G}{r^2} \frac{\mathrm{~d}^2 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^2} \approx-\frac{2 G}{r} \frac{\mathrm{~d}^3 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^3}, \\
t_{0 r} & =-\frac{G}{8 \pi r^2}\left\langle\left(\frac{\mathrm{~d}^3 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^3}\right)\left(\frac{\mathrm{d}^3 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^3}\right)\right\rangle .
\end{aligned}
$$

考虑利用投影算子做投影．首先，注意到

$$
X_{i j}^{\mathrm{TT}} X_{\mathrm{TT}}^{i j}=X^{i j} X_{i j}-2 X_i{ }^j X^{i k} n_j n_k+\frac{1}{2} X^{i j} X^{k l} n_i n_j n_k n_l-\frac{1}{2} X^2+X X^{i j} n_i n_j,
$$

其中 $X=\delta^{i j} X_{i j}$ ．其次，由于 $J_{i j}$ 无迹，$J=0$ ，所以

$$
\begin{aligned}
& J_{i j

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