最后更新: 2025-12-23 11:31 查看: 27 次纠错评论(0) 课件开VIP

引力辐射的能量损耗

11.4 引力辐射的能量损耗

由于引力辐射携带能动张量，因而会产生能量损耗．这为我们间接探测引力波提供了线索．实际上，在 2015 年引力波被直接观测到之前，对引力波的支持都来自间接证据，其中最有名的就是对双星系统轨道变化的精确观测。由于双星系统存在引力辐射，能量损耗以后双星的轨道周期发生了变化，这个变化的理论预言与实验符合得很好，有力地支持了引力波的存在．

引力波的能量损耗可以通过计算引力波的能量损失率来得到．辐射到无穷远的总能量为

$$
\Delta E=\int P \mathrm{~d} t
$$

其中辐射功率为

$$
P=\int_{S_{\infty}^2} t_{0 \mu} n^\mu r^2 \mathrm{~d} \Omega
$$

$S_{\infty}^2$ 是在空间无穷远处的二维球面 $S^2, n^\mu$ 是垂直于该球面的一个单位类空矢量，在极坐标系 $(t, r, \theta, \phi)$ 下

$$
n^\mu=(0,1,0,0) .
$$

我们可以定义一个投影算子 $P_{i j}=\delta_{i j}-n_i n_j$ ，它把张量投影到与 $n_i$ 垂直的分量上．取定 $n_i$ 平行于传播方向，则 $P_{i j}$ 就把一个对称类空张量 $X_{k l}$ 投影到 $S_{\infty}^2$ 的球面上，

$$
X_{i j}^{\mathrm{TT}}=\left(P_i^k P_j^l-\frac{1}{2} P_{i j} P^{k l}\right) X_{k l} .
$$

我们前面已经给出 $\bar{h}_{i j}^{\mathrm{TT}}=h_{i j}^{\mathrm{TT}}=\frac{2 G}{r} \frac{\mathrm{~d}^2 q_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{d} t^2}(t-r) . q^{i j}$ 有可能包含一些难以确定的能量密度的积分，因此我们定义一个约化四极矩：

$$
J_{i j}=q_{i j}-\frac{1}{3} \delta_{i j} \delta^{k l} q_{k l}
$$

它是 $q^{i j}$ 的无迹部分．实际上，在牛顿引力势的多极展开中出现的就是约化四极矩：

$$
\Phi=-\frac{G M}{r}-\frac{G}{r^3} D_i x^i-\frac{3 G}{2 r^5} J_{i j} x^i x^j+\cdots
$$

其中 $D_i=\int T^{00} x^i \mathrm{~d} x^3$ 是质量偶极矩．在 TT 规范下，$q_{i j}^{\mathrm{TT}}=J_{i j}^{\mathrm{TT}}$ ，所以

$$
h_{i j}^{\mathrm{TT}}=\frac{2 G}{r} \frac{\mathrm{~d}^2 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^2}(t-r)
$$

如果引力波的传播是沿径向方向，$t_{0 \mu} n^\mu=t_{0 r}$ ，则此时的约化四极矩以及引力波的能动张量分别为
$$
\begin{aligned}
\partial_0 h_{i j}^{\mathrm{TT}} & =\frac{2 G}{r} \frac{\mathrm{~d}^3 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^3}, \\
\partial_r h_{i j}^{\mathrm{TT}} & =-\frac{2 G}{r} \frac{\mathrm{~d}^3 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^3}-\frac{2 G}{r^2} \frac{\mathrm{~d}^2 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^2} \approx-\frac{2 G}{r} \frac{\mathrm{~d}^3 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^3}, \\
t_{0 r} & =-\frac{G}{8 \pi r^2}\left\langle\left(\frac{\mathrm{~d}^3 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^3}\right)\left(\frac{\mathrm{d}^3 J_{i j}^{\mathrm{TT}}}{\mathrm{~d} t^3}\right)\right\rangle .
\end{aligned}
$$

考虑利用投影算子做投影．首先，注意到

$$
X_{i j}^{\mathrm{TT}} X_{\mathrm{TT}}^{i j}=X^{i j} X_{i j}-2 X_i{ }^j X^{i k} n_j n_k+\frac{1}{2} X^{i j} X^{k l} n_i n_j n_k n_l-\frac{1}{2} X^2+X X^{i j} n_i n_j,
$$

其中 $X=\delta^{i j} X_{i j}$ ．其次，由于 $J_{i j}$ 无迹，$J=0$ ，所以

$$
\begin{aligned}
& J_{i j}^{\mathrm{TT}} J_{\mathrm{TT}}^{i j}=J^{i j} J_{i j}-2 J_i{ }^j J^{i k} n_j n_k+\frac{1}{2} J^{i j} J^{k l} n_i n_j n_k n_l \\
& P=-\frac{G}{8 \pi} \int_{S_{\infty}^2}\left\langle\frac{\mathrm{~d}^3 J^{i j}}{\mathrm{~d} t^3} \frac{\mathrm{~d}^3 J_{i j}}{\mathrm{~d} t^3}-2 \frac{\mathrm{~d}^3 J_i{ }^j}{\mathrm{~d} t^3} \frac{\mathrm{~d}^3 J^{i k}}{\mathrm{~d} t^3} n_j n_k+\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}^3 J^{i j}}{\mathrm{~d} t^3} \frac{\mathrm{~d}^3 J^{k l}}{\mathrm{~d} t^3} n_i n_j n_k n_l\right\rangle
\end{aligned}
$$

又因为 $n^i=x^i / r$ 而 $J^{i j}$ 的值与角变量无关，以及积分

$$
\begin{gathered}
\int \mathrm{d} \Omega=4 \pi, \quad \int n_i n_j \mathrm{~d} \Omega=\frac{4 \pi}{3} \delta_{i j}, \\
\int n_i n_j n_k n_l \mathrm{~d} \Omega=\frac{4 \pi}{15}\left(\delta_{i j} \delta_{k l}+\delta_{i k} \delta_{j l}+\delta_{i l} \delta_{j k}\right),
\end{gathered}
$$

我们有

$$
P=-\frac{G}{5}\left\langle\frac{\mathrm{~d}^3 J^{i j}}{\mathrm{~d} t^3} \frac{\mathrm{~d}^3 J_{i j}}{\mathrm{~d} t^3}\right\rangle .
$$

对于致密双星系统，两颗星的质量相同，则其质量四极矩为

$$
\begin{aligned}
J_{i j} & =\frac{M R^2}{3}\left(\begin{array}{ccc}
1+3 \cos 2 \Omega t & 3 \sin 2 \Omega t & 0 \\
3 \sin 2 \Omega t & 1-3 \cos 2 \Omega t & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{array}\right), \\
\frac{\mathrm{d}^3 J_{i j}}{\mathrm{~d} t^3} & =8 M R^2 \Omega^3\left(\begin{array}{ccc}
\sin 2 \Omega t & -\cos 2 \Omega t & 0 \\
-\cos 2 \Omega t & -\sin 2 \Omega t & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$

因此 $P=-\frac{128}{5} G M^2 R^4 \Omega^6$ ．由于 $\Omega=\frac{2 \pi}{T}=\left(\frac{G M}{4 R^3}\right)^{1 / 2}$ ，所以

$$
P=-\frac{2}{5} \frac{G^4 M^5}{R^5}
$$
如果两颗星的质量不同，即 $m_1 \neq m_2$ ，但轨道仍是圆形，则

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}=-\frac{64 G^4}{5 c^5 r^3} m_1 m_2\left(m_1+m_2\right) \\
& \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{~d} t}=-\frac{3 \omega}{2 r} \frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} t}=\frac{96}{5}\left(\frac{G\left(m_1+m_2\right)}{c^2 r}\right)^{\frac{3}{2}} \frac{G^2 m_1 m_2}{c^2 r^4}
\end{aligned}
$$

其中 $\omega$ 是轨道频率，而 $\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}$ 给出了轨道频率如何随时间变化．
1974 年，赫塞（Hulse）和泰勒（Taylor）研究了双星系统 PSR1913＋16．这个双星系统的两颗星都比较轻，质量大约是 $1.4 M_{\odot}$ ，其中一颗星是高速旋转的脉冲星，轨道周期约为 7.9 h ．由于引力波辐射，系统的能量被带走，导致轨道周期发生变化，

$$
\frac{\Delta \omega}{\Delta t}=2.4 \times 10^{-12} \mathrm{~s}
$$

理论上的预言是 $\frac{\Delta \omega}{\Delta t}=2.38 \times 10^{-12} \mathrm{~s}$ ．可见理论与观测高度符合．这两位科学家由于对双星系统的仔细研究于 1993 年获得了诺贝尔物理学奖．双星系统产生的引力波频率约为 $10^{-5} \sim 10^{-6} \mathrm{~Hz}$ ，属于低频引力波，远超出现有的引力波探测器的灵敏度，是无法直接观测的．然而通过对轨道周期变化的观测，很好地给出了引力波辐射的间接证据。

实际上，上面的双星系统的轨道并非圆形，而是椭圆形，离心率为 $e=0.617$ ．对于圆形轨道，引力波的基频是轨道频率的两倍，这是因为四极矩半个周期就重复一次．而对于椭圆轨道，基频就是轨道频率，而引力辐射的频率一定是基频的整数倍。对于 PSR1913＋16，最强的引力辐射在频率 $\omega=8 \omega_0$ 处，而振幅最大的辐射在频率 $\omega=4 \omega_0$处．

由于脉冲星实际上是高速旋转的中子星，相对论性效应很强，

$$
M \approx 1.44 M_{\odot}, \quad r \approx 10 \mathrm{~km}, \quad \frac{G M}{r c^2} \approx 0.2,
$$

也许有人会怀疑上面讨论中的牛顿近似是否需要大的修改．达莫尔（Damour）在20世纪80年代研究了此问题，发现四极矩公式仍然很好 ${ }^{[50]}$ 。

如前所述，一个随时间变化的质量四极矩将给出引力辐射．一个非球对称的转动物体可以给出引力辐射。例如一颗高速转动的中子星，其周期为 $T=0.03 \sim 0.3 \mathrm{~s}$ ．而对于双星系统，随着引力辐射带走能量，轨道半径越来越小，两颗星越来越近，转动越来越快而角频率越来越高，发射的引力波的频率也越来越高．最终，这两颗星互相碰撞，产生引力波暴，发出高频的引力波．

另一个引力辐射的简单例子发生在一个小质量 $m$ 的物体向一个质量 $M$ 大得多的物体运动时．不妨假设运动方向是沿着 $z$ 方向，不难发现

$$
-\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t}=\frac{2 G m^2}{15 c^5}(6 \dot{z} \ddot{z}+2 z \dddot{z})^2 .
$$

此时，我们可以假定大质量物体不动，只考虑小质量物体的运动即可。在无穷远，小质量物体以零速度自由下降，

$$
\frac{1}{2} m \dot{z}^2=\frac{G m M}{|z|},
$$

因此

$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{|z|^{1 / 2}}(2 G M)^{1 / 2}, \quad \frac{\mathrm{~d}^2 z}{\mathrm{~d} t^2}=\frac{G M}{z^2}, \quad \frac{\mathrm{~d}^3 z}{\mathrm{~d} t^3}=\frac{(2 G M)^{3 / 2}}{|z|^{7 / 2}}
$$

所以

$$
-\mathrm{d} E=\frac{1}{|z|^{9 / 2}} \frac{2 G m^2}{15 c^5}(2 G M)^{5 / 2} \mathrm{~d} z .
$$

从无穷远到 $z=-R$ ，

$$
-\Delta E=\frac{1}{R^{7 / 2}} \frac{4 G m^2}{105 c^5}(2 G M)^{5 / 2}
$$

如果大质量物体是黑洞，其视界为 $R_{\mathrm{s}}=\frac{2 G M}{c^2}$ ，则损失的能量为

$$
-\Delta E=0.019 m c^2 \frac{m}{M} .
$$

如果考虑相对论效应，则有

$$
-\Delta E=0.0104 m c^2 \frac{m}{M} .
$$

易见损失的能量反比于黑洞的质量，即 $\Delta E \propto \frac{1}{M}$ 。如果 $M=10 M_{\odot}, R \approx 30 \mathrm{~km}$ ， $m=M_{\odot}$ ，则 $-\Delta E \approx 2 \times 10^{51} \mathrm{erg}$ ．实际上，大部分能量损失发生在从 $2 R_{\mathrm{s}}$ 到 $R_{\mathrm{s}}$ 这一段路程上，而相应的引力辐射频率较高，

$$
\Delta t \approx R_{\mathrm{s}} /[\text { 粒子速度 }] \approx R_{\mathrm{s}} / c \approx 10^{-4} \mathrm{~s} \text {. }
$$

一个最简单的引力辐射模型也许是弹簧模型．考虑两个有质量物体通过弹簧沿 $z$ 轴相连，它们的距离是 $2 b$ ．我们把它们放到 $\pm b$ 的位置，则它们的运动轨迹为 $z= \pm(b+a \sin \omega t)$ ，其中 $a$ 是它们的振幅，而 $\omega$ 是它们的振动频率．假定弹簧的振幅较小， $a \ll b$ ，从而 $z^2 \approx b^2+2 a b \sin \omega t$ ，则约化四极矩为

$$
J^{k l} \approx\left[1+\frac{2 a}{b} \sin \omega(t-r)\right] J_0^{k l}
$$

其中
$$
J_0^{k l}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}
-2 m b^2 & 0 & 0 \\
0 & -2 m b^2 & 0 \\
0 & 0 & 4 m b^2
\end{array}\right) .
$$

而引力波扰动为

$$
h^{k l}=\frac{G}{8 \pi r} \frac{2 a}{b} \omega^2 \sin \omega(t-r) J_0^{k l}
$$

所以

$$
\begin{aligned}
-\frac{\mathrm{d}^2 E}{\mathrm{~d} t \mathrm{~d} \Omega} & =\left(\frac{G}{8 \pi}\right)^2\left[2 m a b \omega^3 \cos \omega(t-r)\right]^2 \sin ^4 \theta \\
-\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t} & =\frac{32 G}{15 c^2}\left[m a b \omega^3 \cos \omega(t-r)\right]^2
\end{aligned}
$$

最终，我们可以得到

$$
-\left\langle\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t}\right\rangle=\frac{16 G \omega^6}{15 c^5}(m a b)^2
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：引力辐射的能动张量

下一篇：引力波探测

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)