最后更新: 2025-12-23 11:35 查看: 26 次纠错评论(0) 课件开VIP

共振探测器以及引力波的能量

附录 11.1 共振探测器以及引力波的能量
在这个附录中我们介绍一下共振探测器的基本原理，并利用它来帮助我们定义引力波携带的能量．共振探测器的基本原理可以通过由弹簧相连的两个质量块系统来理解．假设两个距离为 $b_0$ 的质量块具有相同的质量 $m$ ，它们之间通过无质量的弹簧相连接，弹簧的弹性系数为 $k$ ，阻尼常数为 $\nu$ ．不妨设它们沿 $x$ 方向，则它们的运动可以由

以下方程描述：

$$
\begin{aligned}
& m \ddot{x}_1(t)=-k\left(x_1-x_2+b_0\right)-\nu\left(\dot{x}_1-\dot{x}_2\right), \\
& m \ddot{x}_2(t)=k\left(x_1-x_2+b_0\right)+\nu\left(\dot{x}_1-\dot{x}_2\right) .
\end{aligned}
$$

定义

$$
\eta=x_2-x_1-b_0, \quad \omega_0^2=\frac{2 k}{m}, \quad \gamma=\frac{\nu}{m},
$$

我们可以得到

$$
\ddot{\eta}+2 \gamma \dot{\eta}+\omega_0^2 \eta=0 .
$$

这是一个有阻尼谐振子的方程．由于有摩擦力存在，谐振子的运动最终将趋于静止．
下面我们考虑有引力波经过时，上述系统的响应。首先，单个质量块可以看作质点来处理，引力波经过与否对它都没有影响，看起来都是静止的．假如此时唯一的非引力是弹性力，讨论如上．当一束沿 $z$ 方向的引力波经过时，度规发生了变化，所以质量块间弹簧的固有长度变为

$$
\begin{aligned}
b(t) & =\int_{x_1(t)}^{x_2(t)}\left(1+h_{x x}^{\mathrm{TT}}(t)\right)^{1 / 2} \mathrm{~d} x \\
& \approx\left(x_2-x_1\right)\left(1+\frac{1}{2} h_{x x}^{\mathrm{TT}}(t)\right)+O\left(|h|^2\right) .
\end{aligned}
$$

因此，弹簧的响应为

$$
\begin{aligned}
& m \ddot{x}_1=-k\left(b_0-b\right)-\nu\left(\dot{b}_0-\dot{b}\right), \\
& m \ddot{x}_2=k\left(b_0-b\right)+\nu\left(\dot{b}_0-\dot{b}\right) .
\end{aligned}
$$

同样我们定义

$$
\begin{aligned}
\eta & =b-b_0 \\
& =x_2-x_1-b_0+\frac{1}{2}\left(x_2-x_1\right) h_{x x}^{\mathrm{TT}}(t)+O\left(|h|^2\right) .
\end{aligned}
$$

由于形变较小，我们近似有 $x_2-x_1=b_0$ ，可以得到

$$
x_2-x_1 \approx b_0+\eta-\frac{1}{2} h_{x x}^{\mathrm{TT}}(t) b_0+O\left(|h|^2\right),
$$

由此得到方程

$$
\ddot{\eta}+2 \gamma \dot{\eta}+\omega_0^2 \eta=\frac{1}{2} b_0 \ddot{h}_{x x}^{\mathrm{TT}}(t) .
$$

这是一个受外力的阻尼谐振子方程．这里的外力来自引力波产生的潮汐加速度，该方程也可以通过分析测地偏离方程来得到（留作练习）．

与通常的受力谐振子一样，潮汐加速度的存在会导致谐振子的共振现象发生．假设引力波取形式

$$
h_{x x}^{\mathrm{TT}}=C_{+} \cos \Omega_0 t,
$$

则方程（11．125）具有解

$$
\eta=A \cos \left(\Omega_0 t+\varphi\right),
$$

其中振幅 $A$ 和相角 $\varphi$ 分别为

$$
\begin{aligned}
A & =\frac{1}{2} b_0 C_{+} \frac{\Omega_0^2}{\left[\left(\omega_0^2-\Omega_0^2\right)^2+4 \Omega_0^2 \gamma^2\right]^{1 / 2}}, \\
\tan \varphi & =\frac{2 \gamma \Omega_0}{\omega_0^2-\Omega_0^2} .
\end{aligned}
$$

谐振子的能量包含动能和弹性势能：

$$
E=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}_1^2+\dot{x}_2^2\right)+\frac{1}{2} k \eta^2 .
$$

初始时，振子处于静止状态，则
$$
\begin{aligned}
E & =\frac{1}{2} m\left(\dot{\eta}^2+\omega_0^2 \eta^2\right) \\
& =\frac{1}{4} m A^2\left(\Omega_0^2 \sin ^2\left(\Omega_0 t+\varphi\right)+\omega_0^2 \cos ^2\left(\Omega_0 t+\varphi\right)\right)
\end{aligned}
$$

取一个周期 $T_0=2 \pi / \Omega_0$ 的平均，我们得到平均能量

$$
\langle E\rangle=\frac{1}{8} m A^2\left(\Omega_0^2+\omega_0^2\right) .
$$

从振幅的表达式可见，对于固定频率的引力波，当 $\omega_0=\Omega_0$ ，即共振时振幅最大，

$$
\begin{aligned}
A_{\text {共振 }} & =\frac{1}{4} b_0 C_{+} \frac{\Omega_0}{\gamma}, \\
\langle E\rangle_{\text {共振 }} & =\frac{1}{64} m b_0^2 C_{+}^2 \Omega_0^2\left(\frac{\Omega_0}{\gamma}\right)^2 .
\end{aligned}
$$

这里 $\Omega_0 / \gamma$ 与谐振子的品质因子 $Q$ 有关， $1 / Q$ 定义为在一次振荡中摩擦力导致的一个非受力谐振子损失能量的平均比率：

$$
Q=\omega_0 / 2 \gamma .
$$

所以，我们有平均共振能量

$$
\langle E\rangle_{\text {共振 }}=\frac{1}{16} m b_0^2 C_{+}^2 \Omega_0^2 Q^2 .
$$

实验室中，大多数探测器都是很重的圆柱棒，弹簧就是棒的弹性． 20 世纪60年代，马里兰大学的韦伯使用铝金属做成的圆柱棒做引力波实验．该棒质量为 1.4 吨，长度为 $b_0=1.5 \mathrm{~m}$ ，共振频率为 $\omega_0=10^4 / \mathrm{s}$ ，品质因子 $Q \sim 10^5$ ．如果考虑一个振幅为 $C_{+}=10^{-20}$ 的引力波，则有

$$
\langle E\rangle_{\text {共振 }} \sim 10^{-20} \mathrm{~J}, \quad A_{\text {共振 }} \sim 10^{-15} \mathrm{~m} \text {, }
$$

即谐振子振幅约为一个原子核的大小．现实中的引力波振幅甚至更小，持续时间短，不足以激发棒 ${ }^{(7)}$ 。

上面的讨论显示引力波把能量传递给了谐振子，说明引力波本身具有能量，这些能量来自引力波源．关于引力波的能动张量有很多讨论．我们将在线性引力的框架下，利用上面的谐振子模型来讨论此问题．前面的讨论中把谐振子当作探针来处理，它对引力场的影响被忽略了，这并不准确．如果探测器从引力波中获得了能量，那么由于能量守恒，经过探测器后的引力波应该变弱．也就是说，如果我们考虑谐振子的作用，引力场应该变弱．我们可以这样来理解：我们已经知道振荡的质量块本身会产生引力波，这些次级的引力波与原来的引力波叠加，会发生相消性干涉，导致出射的引力波相比入射的变弱了，参见图 11．8．假设这个振幅的变化实际上标志了引力波携带能量的变化，而且这个能量差应该与探测器（谐振子）从引力波中获得的能量相同，这样我们就可以分析引力波携带的能量，以及引力波源的能量损失．

为了计算引力波的能量通量，即单位时间、单位面积下引力波携带的能量，我们可以考虑在单位面积内分布有 $s$ 个谐振子，如图 11．9（a）所示．对于沿 $z$ 方向人射的引力波，

$$
\begin{aligned}
& \bar{h}_{x x}^{\mathrm{TT}}=C_{+} \cos \Omega_0(z-t), \\
& \bar{h}_{y y}^{\mathrm{TT}}=-\bar{h}_{x x}^{\mathrm{TT}},
\end{aligned}
$$

而在此引力波激发下，谐振子发生共振，其运动为

$$
\eta=A \cos \left(\Omega_0 t+\varphi\right) .
$$

![图片](/uploads/2025-12/b4d091.jpg)
 
 谐振子的运动是稳定的，摩擦耗散的能量由引潮力或者说引力波补偿．每个振子获得的能量为

$$
\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t}=\nu\left(\frac{\mathrm{d} \eta}{\mathrm{~d} t}\right)^2=m \gamma\left(\frac{\mathrm{~d} \eta}{\mathrm{~d} t}\right)^2,
$$

在一个周期下的平均为

$$
\left\langle\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t}\right\rangle_{T_0}=\frac{1}{T_0} \int_0^{T_0} \frac{\mathrm{~d} E}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{2} m \gamma \Omega_0^2 A^2,
$$

而在单位面积内的能量损失为

$$
\delta F=-s\left\langle\frac{\mathrm{~d} E}{\mathrm{~d} t}\right\rangle_{T_0}=-\frac{1}{2} m s \gamma \Omega_0^2 A^2 .
$$

从前面对谐振子 $x= \pm\left(b_0 / 2+a \sin \omega t\right)$ 的讨论可知，它具有非零的约化四极矩，由此可得其线性极化的扰动．受引力波激发的共振谐振子的振荡与之比较，有 $a=A / 2$ ，这是由于每个质量块是以振幅 $A / 2$ 振荡的．每个振子产生的引力波为

$$
\delta \bar{h}_{x x}=-2 G \Omega_0^2 m b_0 A \frac{\cos \left(\Omega_0(r-t)-\varphi\right)}{r} .
$$

而对于所有振子产生的引力场，它们需要叠加在一起，

$$
\delta \bar{h}_{x x}^{\text {total }}=-2 G m \Omega_0^2 b_0 A 2 \pi \int_0^{\infty} s \cos \left(\Omega_0(r-t)-\varphi\right) \frac{\tilde{x} \mathrm{~d} \tilde{x}}{r} .
$$

这里我们在 $z=0$ 的平面上引进了极坐标 $(\tilde{x}, \psi)$ ，其中对 $\psi$ 的积分给出 $2 \pi$ ，而径向极坐标为 $\tilde{x}$ ，它与 $r$ 的关系为

$$
r=\left(\tilde{x}^2+z^2\right)^{1 / 2}
$$

在 $\tilde{x} \sim \tilde{x}+\mathrm{d} \tilde{x}$ 间的振子数为 $s 2 \pi \tilde{x} \mathrm{~d} \tilde{x}$ ，因此我们得到（11．144）式，如图 11．9（b）所示．由于 $\tilde{x} \mathrm{~d} \tilde{x}=r \mathrm{~d} r$ ，有

$$
\delta \bar{h}_{x x}^{\text {total }}=-4 \pi G m \Omega_0^2 b_0 A \int_z^{\infty} s \cos \left(\Omega_0(r-t)-\varphi\right) \mathrm{d} r
$$

当 $r \rightarrow \infty$ 时，积分元的值不确定．物理上，我们可以期待此时的振子应该没有贡献．

![图片](/uploads/2025-12/ed546e.jpg)
 
 假定 $s \propto \mathrm{e}^{-\epsilon r}$ ，最后我们让 $\epsilon \rightarrow 0$ ，得到

$$
\delta \bar{h}_{x x}^{\text {total }}=4 \pi G m s \Omega_0 b_0 A \sin \left(\Omega_0(z-t)-\varphi\right) .
$$

进一步地，我们取 TT 规范，得到

$$
\delta \bar{h}_{x x}^{\mathrm{TT}}=-\delta \bar{h}_{y y}^{\mathrm{TT}}=2 \pi G m s \Omega_0 b_0 A \sin \left(\Omega_0(z-t)-\varphi\right) .
$$

这是所有振子产生的引力扰动．它与原来的引力波叠加，可得

$$
\begin{aligned}
\bar{h}_{x x}^{\mathrm{net}} & =\bar{h}_{x x}^{\mathrm{TT}}+\delta \bar{h}_{x x}^{\mathrm{TT}} \\
& =\left(C_{+}-2 \pi G m s \Omega_0 b_0 A \sin \varphi\right) \cos \left(\Omega_0(z-t)-\theta\right),
\end{aligned}
$$

其中 $\theta$ 是一个相移因子，

$$
\tan \theta=\frac{2 \pi m s \Omega_0 b_0 A}{C_{+}} \cos \varphi
$$
引力波振幅的变化为

$$
\delta C_{+}=-2 \pi G m s \Omega_0 b_0 A \sin \varphi .
$$

由能量守恒，这个振幅的变化来自引力波把能量给了振子．这个能量与振子获得的能量相同，因此有

$$
\frac{\delta F}{\delta C_{+}}=\frac{1}{16 \pi G} \Omega_0^2 C_{+} .
$$

让人惊奇的是，最终我们得到的结果只与引力波本身的频率和振幅有关．积分以后可得

$$
F=\frac{1}{32 \pi G} \Omega_0^2 C_{+}^2 .
$$

这给出了引力波如何带走能量的表达式．考虑到 $\left\langle\left(\bar{h}_{x x}^{\mathrm{TT}}\right)^2\right\rangle=\frac{1}{2} C_{+}^2$ ，我们得到了关系

$$
F=\frac{1}{32 \pi G} \Omega_0^2\left\langle\bar{h}_{\mu \nu}^{\mathrm{TT}} \bar{h}^{\mathrm{TT} \mu \nu}\right\rangle .
$$

这与我们前面得到的引力波的能量密度一致．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：引力波探测

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)