最后更新: 2025-12-23 11:35 查看: 2 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

共振探测器以及引力波的能量

附录 11.1 共振探测器以及引力波的能量
在这个附录中我们介绍一下共振探测器的基本原理，并利用它来帮助我们定义引力波携带的能量．共振探测器的基本原理可以通过由弹簧相连的两个质量块系统来理解．假设两个距离为 $b_0$ 的质量块具有相同的质量 $m$ ，它们之间通过无质量的弹簧相连接，弹簧的弹性系数为 $k$ ，阻尼常数为 $\nu$ ．不妨设它们沿 $x$ 方向，则它们的运动可以由

以下方程描述：

$$
\begin{aligned}
& m \ddot{x}_1(t)=-k\left(x_1-x_2+b_0\right)-\nu\left(\dot{x}_1-\dot{x}_2\right), \\
& m \ddot{x}_2(t)=k\left(x_1-x_2+b_0\right)+\nu\left(\dot{x}_1-\dot{x}_2\right) .
\end{aligned}
$$

定义

$$
\eta=x_2-x_1-b_0, \quad \omega_0^2=\frac{2 k}{m}, \quad \gamma=\frac{\nu}{m},
$$

我们可以得到

$$
\ddot{\eta}+2 \gamma \dot{\eta}+\omega_0^2 \eta=0 .
$$

这是一个有阻尼谐振子的方程．由于有摩擦力存在，谐振子的运动最终将趋于静止．
下面我们考虑有引力波经过时，上述系统的响应。首先，单个质量块可以看作质点来处理，引力波经过与否对它都没有影响，看起来都是静止的．假如此时唯一的非引力是弹性力，讨论如上．当一束沿 $z$ 方向的引力波经过时，度规发生了变化，所以质量块间弹簧的固有长度变为

$$
\begin{aligned}
b(t) & =\int_{x_1(t)}^{x_2(t)}\left(1+h_{x x}^{\mathrm{TT}}(t)\right)^{1 / 2} \mathrm{~d} x \\
& \approx\left(x_2-x_1\right)\left(1+\frac{1}{2} h_{x x}^{\mathrm{TT}}(t)\right)+O\left(|h|^2\right) .
\end{aligned}
$$

因此，弹簧的响应为

$$
\begin{aligned}
& m \ddot{x}_1=-k\left(b_0-b\right)-\nu\left(\dot{b}_0-\dot{b}\right), \\
& m \ddot{x}_2=k\left(b_0-b\right)+\nu\left(\dot{b}_0-\dot{b}\right) .
\end{aligned}
$$

同样我们定义

$$
\begin{aligned}
\eta & =b-b_0 \\
& =x_2-x_1-b_0+\frac{1}{2}\left(x_2-x_1\right) h_{x x}^{\mathrm{TT}}(t)+O\left(|h|^2\right) .
\end{aligned}
$$

由于形变较小，我们近似有 $x_2-x_1=b_0$ ，可以得到

$$
x_2-x_1 \approx b_0+\eta-\frac{1}{2} h_{x x}^{\mathrm{TT}}(t) b_0+O\left(|h|^2\right),
$$

由此得到方程

$$
\ddot{\eta}+2 \gamma \dot{\eta}+\omega_0^2 \eta=\frac{1}{2} b_0 \ddot{h}_{x x}^{\mathrm{TT}}(t) .
$$

这是一个受外力的阻尼谐振子方程．这里的外力来自引力波产生的潮汐加速度，该方程也可以通过分析测地偏离方程来得到（留作练习）．

与通常的受力谐振子一样，潮汐加速度的存在会导致谐振子的共振现象发生．假设引力波取形式

$$
h_{x x}^{\mathrm{TT}}=C_{+} \cos \Omega_0 t,
$$

则方程（11．125）具有解

$$
\eta=A \cos \left(\Omega_0 t+\varphi\right),
$$

其中振幅 $A$ 和相角 $\varphi$ 分别为

$$
\begin{aligned}
A & =\frac{1}{2} b_0 C_{+} \frac{\Omega_0^2}{\left[\left(\omega_0^2-\Omega_0^2\right)^2+4 \Omega_0^2 \gamma^2\right]^{1 / 2}}, \\
\tan \varphi & =\frac{2 \gamma \Omega_0}{\omega_0^2-\Omega_0^2} .
\end{aligned}
$$

谐振子的能量包含动能和弹性势能：

$$
E=\frac{1}{2} m\lef

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