最后更新: 2025-12-25 07:40 查看: 28 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

排列组合常见模型-插空法★★★★★

## 排列组合常见模型-插空法

插空法是排列组合中解决**不相邻问题**的核心方法，核心思路是：先排无限制条件的元素，再将要求不相邻的元素插入到这些元素形成的空隙中，以此保证不相邻元素彼此分离。

当题目明确要求 **某些元素不能相邻** 时，优先使用插空法。例如：
排队时，甲、乙两人不能相邻；
排座位时，某些物品不能挨在一起；
排列数字时，特定数字不能相邻。

## 核心步骤
1.  **排“无限制”元素**
    先排列没有不相邻要求的元素，设这类元素有 $n$ 个，排列数为 $A_{n}^{n}=n!$（如果元素有重复，需用组合数或消序处理）。
    这 $n$ 个元素排列后，会形成 **$n+1$ 个空隙**（包括两端的空隙）。
    例：3个元素排成一排 $\_a\_b\_c\_$，形成 $3+1=4$ 个空隙（横线位置）。

2.  **插“不相邻”元素**
    从 $n+1$ 个空隙中，选出 $m$ 个空隙（$m$ 为不相邻元素的个数，且需满足 $m \le n+1$），将不相邻元素插入，排列数为 $A_{n+1}^{m}$。

3.  **计算总排列数**
    根据**分步乘法计数原理**，总排列数 = 无限制元素的排列数 × 插入的排列数。
    
## 基础例题

`例` 7个人排队，要求甲、乙两人不相邻，有多少种排法？

解：1.  先排其余 **5人**，无限制条件，排列数为 $A_{5}^{5}=5!=120$；
2.  5人排列后形成 $5+1=6$ 个空隙（$\_1\_2\_3\_4\_5\_$）；
3.  从6个空隙中选2个，插入甲、乙两人，排列数为 $A_{6}^{2}=6\times5=30$；
4.  总排法 = $A_{5}^{5} \times A_{6}^{2}=120\times30=3600$ 种。

`例` 现有4个红球和3个白球，排成一排，要求所有白球互不相邻，有多少种排法？

解：本题是含多个不相邻组的问题
1.  先排 **4个红球**，红球无区别，排列数为 $1$（若红球有区别则为 $A_{4}^{4}$）；
2.  4个红球形成 $4+1=5$ 个空隙；
3.  从5个空隙中选3个，插入3个白球，白球无区别则为 $C_{5}^{3}$，有区别则为 $A_{5}^{3}$；
    - 若白球无区别：总排法 = $C_{5}^{3}=\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=10$ 种；

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