最后更新: 2025-12-24 09:26 查看: 41 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

排列组合常见模型-隔板法

## 排列组合常见模型-隔板法
隔板法是排列组合中解决 **相同元素分配问题** 的核心方法，核心思路是：将相同的元素用隔板分成若干组，通过计算隔板的插入方式数，得到分配的方法数，本质是利用 “空隙插板” 实现分组。

使用隔板法必须同时满足 **3个条件**：
1.  被分配的元素是**完全相同**的（如相同的小球、相同的书本、相同的奖金）；
2.  分配的对象是**不同的**（如不同的人、不同的盒子、不同的班级）；
3.  分组要求明确（常见“每组至少1个”，可拓展到“每组至少n个”或“允许空组”）。

##  核心模型与公式

### 基础模型：每组至少1个元素
**问题**：将 $n$ 个相同元素分给 $k$ 个不同对象，要求**每组至少1个**，有多少种分法？

**思路**：
$n$ 个相同元素排成一排，会形成 $n-1$ 个**相邻空隙**（两端空隙不能插板，否则会出现空组）。
要分成 $k$ 组，需要插入 $k-1$ 个隔板，因此分法数为从 $n-1$ 个空隙中选 $k-1$ 个插板的组合数。

**公式**：
$$
N = C_{n-1}^{k-1}
$$

`例` 将5个相同的小球分给3个不同的小朋友，每人至少1个，分法数为 $C_{5-1}^{3-1}=C_{4}^{2}=6$ 种

###   拓展模型1：每组至少 $m$ 个元素（$m>1$）
**问题**：将 $n$ 个相同元素分给 $k$ 个不同对象，要求**每组至少 $m$ 个**，有多少种分法？

**思路**：
先给每个对象**预先分配 $m-1$ 个元素**，把问题转化为“每组至少1个”的基础模型。
1.  预先分配的总数：$k\times(m-1)$；
2.  剩余元素数：$n' = n - k\times(m-1)$；
3.  对剩余 $n'$ 个元素用基础模型，分法数为 $C_{n'-1}^{k-1}$。

**公式**：
$$
N = C_{n - k(m-1) - 1}^{k-1} \quad (n \ge k(m-1))
$$

`例` 将10个相同的糖果分给3个不同的小朋友，每人至少2个，分法数是多少？
解：
- 先给每人分1个，共分3个，剩余 $10-3=7$ 个；
- 问题转化为“7个糖果分给3人，每人至少1个”，分法数 $C_{7-1}^{3-1}=C_{6}^{2}=15$ 种。

###  拓展模型2：允许出现空组
**问题**：将 $n$ 个相同元素分给 $k$ 个不同对象，**允许某些对象分不到元素**，有多少种分法？

**思路**：
增加 $k$ 个相同元素，给每个对象**虚拟分配1个**，把问题转化为“每组至少1个”的基础模型。
1.  新增元素后总数：$n' = n + k$；
2.  对 $n'$ 个元素用基础模型，分法数为 $C_{n'+1-1}^{k-1}=C_{n+k-1}^{k-1}$。

**公式**：
$$
N = C_{n+k-1}^{k-1}
$$

**例**：将3个相同的小球分给2个不同的盒子，允许空盒，分法数是多少？
解：
- 新增2个小球，总数变为 $3+2=5$；
- 转化为“5个小球分给2个盒子，每人至少1个”，分法数 $C_{5-1}^{2-1}=C_{4}^{1}=4

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