最后更新: 2025-12-23 22:38 查看: 24 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

排列组合常见模型-地图涂色

## 排列组合常见模型-地图涂色
排列组合中有一类很有意思的特殊问题－－－涂色问题，它的解决方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题以及解决问题的能力，有利于开发学生的智力。今天我们系统来看下它的各种题型！

地图着色问题的核心是：**用最少的颜色给平面或球面地图着色，使得相邻区域颜色不同**（四色定理证明了最多只需4种颜色即可）。从排列组合的角度，我们更关注“给定$n$种颜色，给指定地图着色的合法方案数”，关键是**区分“相邻区域”和“不相邻区域”**，常用方法有**分步计数法**、**排除法**和**递推法**。

### 一、核心原则
1.  **相邻原则**：相邻区域（有公共边界，仅顶点接触不算）颜色必须不同。
2.  **分步计数**：按区域的顺序依次着色，每一步的选择数取决于已着色的相邻区域的颜色数量。
3.  **排列组合公式**：若第$k$个区域有$m_k$种颜色可选，则总方案数为$\prod_{k=1}^{n}m_k$（分步乘法计数原理）。

## 典型例题
`例` 用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法

![图片](/uploads/2025-12/2442b4.jpg)
 
解： 设四种颜料为 $1,2,3,4$ ，
（1）先涂区域 $B$ ，有 4 中填涂方法，不妨设涂颜色 1；
（2）再涂区域 $C$ ，有 3 中填涂方法，不妨设涂颜色2；
（3）再涂区域 $E$ ，有 2 中填涂方法，不妨设涂颜色 3 ；
（4）若区域 $A$ 填涂颜色 2 ，则区域 $D 、 F$ 填涂颜色 1，4，或 4，3，若区域 $A$ 填涂颜色 4，则区域 $D 、 F$ 填涂颜色 1，3 或 4，3，共 4 中不同的填涂方法，综合（1）（2）（3）（4），由分步计数原理可得，共有 $4 \times 3 \times 2 \times 4=96$ 种不同的填涂法．

`例` 用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域 、 、 、 、 涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法
 ![图片](/uploads/2025-12/1ee0b4.jpg)
 
 解：因为区域D和各个区域都相邻，所以首先给区域D染色有5种方法,区域 C、E 各有4种方法, 区域A 、B 一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知, 共有 $5*4*4*4*3=960$ 涂色方法 .

`例` 学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有（）种不同的涂色方法.
 ![图片](/uploads/2025-12/73421a.jpg)
 
 解：当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有 $\mathrm{C}_4^2-1=5$ 种选法，因此不同的涂色方法有 $5 \times 2=10$ 种，

当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有 2 种方法选法，
因此不同的涂色方法有 $2 \times 2 \times 2=8$ 种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有 2 种方法选法，
因此不同的涂色方法有 $2 \times 3 \times 2 \times(2+1)=36$ 种，
当选择四种颜色时，不同的涂色方法有 $2 \times 2 \times 2+2 \times 2=12$ 种，
所以共有 $10+8+36+12=66$ 种不不同的涂色方法，
故答案为： 66

`例`西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有() 种涂色方法．
 ![图片](/uploads/2025-12/7a07c9.jpg)
 
解：【详解】对于新疆有 5 种涂色的方法，
对于青海有 4 种涂色方法，
对于西藏有 3 种涂色方法，
对于四川：若与新疆颜色相同，则有 1 种涂色方法，此时甘肃有 3 种涂色方法；若四川与新疆颜色不相同，则四川只有 2 种涂色方法，此时甘肃有 2 种涂色方法；根据分步、分类计数原理，则共有 $5 \times 4 \times 3 \times(2 \times 2+1 \times 3)=420$ 种方法．故答案为 420 ．

`例` 如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可

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