最后更新: 2025-12-24 09:40 查看: 15 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

排列组合常见模型-元素顺序固定模型

## 排列组合常见模型-元素顺序固定模型
元素顺序固定模型的核心思路是：先对所有元素进行全排列，再除以定序元素的全排列数，以此消除定序元素之间的顺序差异，得到符合要求的排列数。

当题目明确要求 **部分元素的相对顺序固定** 时 。常见的定序场景包括：
- 某些元素必须按“从大到小”“从小到大”排列；
- 特定元素的先后顺序固定（如甲必须在乙前面，丙必须在丁前面）。

## 核心原理与公式
### 1. 重复计数的根源
假设要对 $n$ 个元素全排列，其中有 $k$ 个元素的相对顺序固定。
若不考虑定序要求，全排列数为 $A_{n}^{n}=n!$；
但这 $k$ 个定序元素本身的全排列有 $A_{k}^{k}=k!$ 种，而这些排列在**定序要求下是同一种情况**，因此需要用总排列数除以 $k!$ 来“倍缩”去重。

### 2. 核心公式
若 $n$ 个不同元素中，有 $k$ 个元素的相对顺序固定，则满足条件的排列数为：
$$
N=\frac{A_{n}^{n}}{A_{k}^{k}}=\frac{n!}{k!}
$$
**拓展**：若存在多组定序元素，比如有 $k_1$ 个元素定序、$k_2$ 个元素定序，且各组定序相互独立，则排列数为：
$$
N=\frac{n!}{k_1! \cdot k_2!}
$$

## 基础例题

`例`用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，要求 **数字1,2,3必须按从小到大的顺序排列**，有多少种排法？

解：（单元素定序）
1.  不考虑定序要求，5个数字的全排列数为 $A_{5}^{5}=5!=120$；
2.  定序元素1,2,3的全排列数为 $A_{3}^{3}=3!=6$，这6种排列在“从小到大”的要求下是同一种顺序；
3.  因此满足条件的排法数为 $\frac{5!}{3!}=\frac{120}{6}=20$ 种。

`例`7个人排队，要求 **甲必须在乙前面，丙必须在丁前面**，有多少种排法？

解：（两组元素定序）
1.  7个人的全排列数为 $A_{7}^{7}=7!=5040$；
2.  甲和乙的全排列有 $A_{2}^{2}=2$ 种，其中只有1种符合“甲在乙前”；
3.  丙和丁的全排列有 $A_{2}^{2}=2$ 种，其中只有1种符合“丙在丁前”；
4.  两组定序相互独立，因此排法数为 $\frac{7!}{2! \cdot 2!}=\frac{5040}{2\times2}=1260$ 种。

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