最后更新: 2025-12-24 08:58 查看: 49 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

排列组合常见模型-平均分组法

## 排列组合常见模型-平均分组法

**平均分组法**是排列组合中解决**分组分配问题**的核心方法，核心思路是：当分组时出现**各组元素数量相等**的情况，需要消除因“组与组之间无区别”产生的重复计数，最终分组方法数 = 不考虑组序的分组数 ÷ 重复的排列数。

##  适用场景
当题目要求将 $n$ 个不同元素分成 $k$ 组，且 **每组元素个数完全相同** 时，必须使用平均分组法。
例如：
 将6本不同的书分成3组，每组2本；
 将8个人分成4组，每组2人；
 将10个不同的球分成5组，每组2个。

补充：若分组后还需要**分配到不同对象**（如分给3个人、放到3个不同的盒子），则无需消除组序，直接计算后乘以分配的排列数即可。

##  核心概念与公式
 1. 重复计数的根源
把不同元素平均分组时，若不考虑组的顺序，会出现重复。
例如：将元素 $A,B,C,D$ 分成2组，每组2个。
不考虑重复的分法：$\{A,B\}\{C,D\}$、$\{A,C\}\{B,D\}$、$\{A,D\}\{B,C\}$、$\{C,D\}\{A,B\}$、$\{B,D\}\{A,C\}$、$\{B,C\}\{A,D\}$，共 $C_{4}^{2}C_{2}^{2}=6$ 种。
但 $\{A,B\}\{C,D\}$ 和 $\{C,D\}\{A,B\}$ 是**同一分组方式**（组无区别），因此实际只有3种，需要除以 $A_{2}^{2}=2$（2个组的全排列数）。

2. 核心公式
设将 $n$ 个不同元素平均分成 $k$ 组，每组有 $m$ 个元素（满足 $n=k\times m$）。
- **不分配**（组无区别）：
  分组方法数 = $\boldsymbol{\frac{C_{n}^{m} \cdot C_{n-m}^{m} \cdot \dots \cdot C_{m}^{m}}{A_{k}^{k}}}$
- **分配**（分给 $k$ 个不同对象）：
  分配方法数 = $C_{n}^{m} \cdot C_{n-m}^{m} \cdot \dots \cdot C_{m}^{m} = \boldsymbol{\frac{n!}{(m!)^k}}$
  
  
## 基础例题
`例` 将6本不同的书分成3组，每组2本，有多少种分法？
解：纯平均分组（组无区别）
1.  第一步：从6本书中选2本作为第一组，$C_{6}^{2}=\frac{6\times5}{2\times1}=15$；
2.  第二步：从剩下4本中选2本作为第二组，$C_{4}^{2}=\frac{4\times3}{2\times1}=6$；
3.  第三步：剩下2本作为第三组，$C_{2}^{2}=1$；
4.  由于3个组无区别，存在 $A_{3}^{3}=6$ 种重复计数，因此需要除以 $A_{3}^{3}$。
    总方法数 = $\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}=\frac{15\times6\times1}{6}=15$ 种。

`例` 将6本不同的书分给3个人，每人2本，有多少种分法？
解：平均分组后分配（组有区别）
方法一：先分组，再分配
1.  按例1分成3组（每组2本），有15种分法；
2.  将3组书分给3个人，有 $A_{3}^{3}=6$ 种分配方式；
3.  总方法数 = $15\times6=90$ 种。

方法二：直接分配
1.  给第一个人分2本：$C_{6}^{2}=15$；
2.  给第二个人分2本：$C_{4}^{2}=6$；
3.  给第三个人分2本：$C_{2}^{2}=1$；
4.  总方法数 = $15\times6\times1=90$ 种。

`例`  将5本不同的书分成3组，其中2组各2本，1组1本，有多少种分法？
解：部分平均分组
1.  第一步：从5本中选2本作为第一组：$C_{5}^{2}=10$；
2.  第二步：从剩下3本中选2本作为第二组：$C_{3}^{2}=3$；
3.  第三步：剩下1本作为第三组：$C_{1}^{1}=1$；
4.  这里**只有2个组的数量相同**，因此重复数为 $A_{2}^{2}=2$，需要除以 $A_{2}^{2}$。
    总方法数 = $\frac{C_{5}^{2}C_{3}^{2}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}=\frac{10\times3\times1}{2}=15$ 种。

## 例题
`例` 有 6 名大学生到甲、乙、丙三所学校去实习，每名大学生只去一所学校，若甲、乙、丙三所学校都需要 2 名大学生，则不同安排方法的种数为 $\_\_\_\_$ （用数字作答）

解： 利用分步计数原理，不同的安排方法共有 $C_6^2 C_4^2 C_2^2=90$ ．
故答案为： 90

`例` 为提高教学质量，教育厅派6位教研员，平均分成3组，去某地3所重点高中调研，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排方案有（    ）种．

解：【分析】首先不考虑甲、乙两位教研员利用平均分组分配问题的方法求出总安排数，再减去甲、乙两位教研员去同一所高中的情况。

【详解】依题意若不考虑甲、乙两位教研员则有 $\frac{\mathrm{C}_6^2 \mathrm{C}_4^2 \mathrm{C}_2^2 \mathrm{~A}_3^3}{\mathrm{~A}_3^3}=90$ 种安排方法，
若甲、乙两位教研员去同一所高中则有 $\frac{\mathrm{C}_4^2 \mathrm{C}_2^2 \mathrm{~A}_3^3}{\mathrm{~A}_2^2}=18$ 种安排方法，
综上可得不同的调研安排方案有 $90-18=72$ 种．

`例` 哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为

`例` 【分析】利用分组分配办法求解即可．
【详解】可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为 2,2 ，考虑到重复一半，故分组方案应为 $\frac{\mathrm{C}_4^2 \mathrm{C}_2^2}{\mathrm{~A}_2^2}$

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