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整环的商域

5.7 整环的商域

利用等价关系从整数出发可以作出所有的有理数，有理数域是包含整数环 $\mathbf{Z}$的最小的域．从整环 $R$ 出发也可以类似作出一个商域（分式域），它也是包含 $R$ 的最小的域。

定义 5．7．1 设 $R$ 为一整环．如果存在域 $F$ 使得
（1）$R$ 是 $F$ 的一个子环；
（2）$F$ 的每个元素 $\alpha$ 都可以表成 $R$ 的两个元素的商，即有 $\alpha=\frac{b}{c}, c \neq 0$ ．则称域 $F$ 为整环 $R$ 的商域（分式域）．

类似于有理数的构造方法，可以如下构造商域．
定理 5．7．1 每个整环 $R$ 都有一个商域 $F=\left\{\left.\frac{a}{b} \right\rvert\, a, b \in R\right.$ 且 $\left.a \neq 0\right\}$ ．
证明 设 $R$ 是一个整环，$R^*=R-\{0\}$ ，则 $R^*$ 为一个乘法么半群．作笛卡儿积 $T=R \times R^*=\left\{(a, b) \mid a \in R, b \in R^*\right\}$ 。在 $T$ 上定义一个关系 $\sim$ ：

$$
(a, b) \sim(c, d) \text { 当且仅当 } a d=b c \text {. }
$$

$\sim$ 显然是反身的和对称的，而且也是传递的．事实上，若设

$$
(a, b) \sim(c, d) \text {, 且 }(c, d) \sim(e, f) \text {, }
$$

则有 $a d=b c, c f=d e$ 且有 $a d f=b c f=b d e$ ，因为 $d \neq 0$ 且 $R$ 为整环，消去 $d$ 得 $a f=b e$ ．所以 $(a, b) \sim(e, f)$ ．

作商集 $F=T / \sim$ ，含 $(a, b)$ 的等价类记作 $\frac{a}{b}$ ．于是 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 当且仅当 $a d= b c$ ．在 $F$ 上定义加法和乘法运算如下：

$$
\begin{gathered}
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a d+b c}{b d} \\
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}
\end{gathered}
$$

可以验证，上述定义与等价类代表元的取法无关．

事实上，设 $\frac{a}{b}=\frac{a^{\prime}}{b^{\prime}}, \frac{c}{d}=\frac{c^{\prime}}{d^{\prime}}$ ，则有 $a b^{\prime}=a^{\prime} b, c d^{\prime}=c^{\prime} d$ ，于是

$$
\frac{a^{\prime}}{b^{\prime}}+\frac{c^{\prime}}{d^{\prime}}=\frac{a^{\prime} d^{\prime}+b^{\prime} c^{\prime}}{b^{\prime} d^{\prime}}=\frac{a d^{\prime}+b

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