最后更新: 2025-12-24 17:11 查看: 35 次纠错评论(0) 课件开VIP

整环的商域

5.7 整环的商域

利用等价关系从整数出发可以作出所有的有理数，有理数域是包含整数环 $\mathbf{Z}$的最小的域．从整环 $R$ 出发也可以类似作出一个商域（分式域），它也是包含 $R$ 的最小的域。

定义 5．7．1 设 $R$ 为一整环．如果存在域 $F$ 使得
（1）$R$ 是 $F$ 的一个子环；
（2）$F$ 的每个元素 $\alpha$ 都可以表成 $R$ 的两个元素的商，即有 $\alpha=\frac{b}{c}, c \neq 0$ ．则称域 $F$ 为整环 $R$ 的商域（分式域）．

类似于有理数的构造方法，可以如下构造商域．
定理 5．7．1 每个整环 $R$ 都有一个商域 $F=\left\{\left.\frac{a}{b} \right\rvert\, a, b \in R\right.$ 且 $\left.a \neq 0\right\}$ ．
证明 设 $R$ 是一个整环，$R^*=R-\{0\}$ ，则 $R^*$ 为一个乘法么半群．作笛卡儿积 $T=R \times R^*=\left\{(a, b) \mid a \in R, b \in R^*\right\}$ 。在 $T$ 上定义一个关系 $\sim$ ：

$$
(a, b) \sim(c, d) \text { 当且仅当 } a d=b c \text {. }
$$

$\sim$ 显然是反身的和对称的，而且也是传递的．事实上，若设

$$
(a, b) \sim(c, d) \text {, 且 }(c, d) \sim(e, f) \text {, }
$$

则有 $a d=b c, c f=d e$ 且有 $a d f=b c f=b d e$ ，因为 $d \neq 0$ 且 $R$ 为整环，消去 $d$ 得 $a f=b e$ ．所以 $(a, b) \sim(e, f)$ ．

作商集 $F=T / \sim$ ，含 $(a, b)$ 的等价类记作 $\frac{a}{b}$ ．于是 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 当且仅当 $a d= b c$ ．在 $F$ 上定义加法和乘法运算如下：

$$
\begin{gathered}
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a d+b c}{b d} \\
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}
\end{gathered}
$$

可以验证，上述定义与等价类代表元的取法无关．

事实上，设 $\frac{a}{b}=\frac{a^{\prime}}{b^{\prime}}, \frac{c}{d}=\frac{c^{\prime}}{d^{\prime}}$ ，则有 $a b^{\prime}=a^{\prime} b, c d^{\prime}=c^{\prime} d$ ，于是

$$
\frac{a^{\prime}}{b^{\prime}}+\frac{c^{\prime}}{d^{\prime}}=\frac{a^{\prime} d^{\prime}+b^{\prime} c^{\prime}}{b^{\prime} d^{\prime}}=\frac{a d^{\prime}+b c^{\prime}}{b d^{\prime}}=\frac{a d+b c}{b d^{\prime}}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d} .
$$

类似可证

$$
\frac{a^{\prime}}{b^{\prime}} \cdot \frac{c^{\prime}}{d^{\prime}}=\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}
$$

进而，还可以证明 $F$ 对上面定义的加法和乘法构成一个域．加法和乘法的结合律、交换律和分配律由读者自己去验证．$\frac{0}{b}$ 是 $F$ 的零元素，简记作 $0 .-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}$为 $\frac{a}{b}$ 的负元素．$\frac{b}{b}$ 是 $F$ 的单位元素，简记作 1 ．若 $\frac{a}{b} \neq 0$ ，则 $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}$ ．
$F$ 包含一个子环 $R^{\prime}=\left\{\left.\frac{a}{1} \right\rvert\, a \in R\right\} . F$ 中元素 $\frac{a}{b}$ 可写成 $R^{\prime}$ 中两个元素的商 $\frac{a}{b}=\frac{a}{1} / \frac{b}{1}$ ．映射 $a \rightarrow \frac{a}{1}$ 是 $R$ 到 $F$ 的一个嵌入，将 $\frac{a}{1}$ 与 $a$ 等同，$R$ 与 $F$ 的子环 $R^{\prime}$ 等同，则 $F$ 的元素可写成 $R$ 中元素的商．所以 $F$ 是 $R$ 的一个商域．\＃

按上面的分析，在同构意义下，整环 $R$ 可以看成其商域 $F$ 的子环，也称整环 $R$ 可以嵌入到域 $F$ 中．特别地，也可以说整数环 $\mathbf{Z}$ 被嵌入到了有理数域 $\mathbf{Q}$ 中。

上面构造整环 $R$ 的商域时，需要在集合 $T=R \times R^*=\left\{(a, b) \mid a \in R, b \in R^*\right\}$上定义等价关系，元素 $(a, b)$ 所在的等价类记作 $\frac{a}{b}$ ，此时元素 $b \in R^*=R-\{0\}$ ．适当放宽 $b$ 所在集合 $S$ 的要求，比如只要求 $S$ 中元素对乘法运算封闭（此时称 $S$构成乘性子集），这样构造出的新的等价类的全体构成一个分式环 $S^{-1} R$ 。特别地，当 $P$ 是 $R$ 的素理想时，$S=R \backslash P$ 为乘性子集，分式环 $S^{-1} R$ 简记为 $R_P$ ，称为环 $R$ 的局部化，这也是环论的重要研究内容．

下面证明商域的唯一性。
引理 5．7．1 设 $R$ 为一整环，$F$ 为它的一个商域。则 $R$ 到一个域 $F^{\prime}$ 的任一个单一同态 $\eta$ 恒可以唯一地扩充成 $F$ 到 $F^{\prime}$ 的一个单一同态。

证明 首先证明存在性．设 $T=\{(a, b) \mid a, b \in R, b \neq 0\}$ ．定义映射 $\xi: T \rightarrow F^{\prime}$ 如下

$$
\xi(a, b)=\eta(a) \cdot \eta(b)^{-1}
$$

若 $(a, b) \sim(c, d)$ ，则 $a d=b c, \eta(a) \eta(d)=\eta(b) \eta(c)$ 。从而 $\xi(a, b)=\xi(c, d)$ 。
反之，从 $\xi(a, b)=\xi(c, d)$ 可知 $\eta(a) \cdot \eta(b)^{-1}=\eta(c) \cdot \eta(d)^{-1}$ ，即 $\eta(a) \eta(d)= \eta(b) \eta(c)$ ，也即 $\eta(a d)=\eta(b c)$ ．又因为 $\eta$ 是单一同态，故有 $a d=b c$ ，从而 $(a, b) \sim (c, d)$ ．

因此，$\xi$ 确定了商集 $F=T / \sim$ 到 $F^{\prime}$ 的一个单一映射 $\eta^{\prime}$ ：

$$
\eta^{\prime}(a / b)=\xi(a, b)=\eta(a) / \eta(b)
$$

$\eta^{\prime}$ 显然保持运算．因而 $\eta^{\prime}$ 是 $F$ 到 $F^{\prime}$ 的一个单一同态而且是 $\eta$ 的一个扩充．
其次证明 $\eta^{\prime}$ 的唯一性．设 $\eta^{\prime \prime}$ 是一个 $\eta$ 在 $F$ 上的任一个扩充，求证 $\eta^{\prime \prime}=\eta^{\prime}$ ．
对于任一元素 $x \in F, x$ 可以表成 $x=a \cdot b^{-1}$ ，其中 $a, b \in R$ ，于是 $x b=a$ 。
将 $\eta^{\prime}$ 和 $\eta^{\prime \prime}$ 分别作用于等式，一方面由 $\eta^{\prime}(x b)=\eta^{\prime}(a)$ 得 $\eta^{\prime}(x) \eta(b)=\eta(a)$ ，另一方面由 $\eta^{\prime \prime}(x b)=\eta^{\prime \prime}(a)$ 得 $\eta^{\prime \prime}(x) \eta(b)=\eta(a)$ 。由于 $\eta(b) \neq 0$ ，故有 $\eta^{\prime}(x)=\eta^{\prime \prime}(x)$ 。

因此 $\eta^{\prime \prime}=\eta^{\prime}$ ．

\＃

定理 5．7．2 一个整环 $R$ 的商域在同构意义下是唯一的．
证明 设 $F$ 和 $F^{\prime}$ 为 $R$ 的两个商域，根据引理 5．7．1，对于 $R$ 到 $F^{\prime}$ 的嵌入映射 $\eta: a \mapsto a$ ，存在一个单一同态 $\eta^{\prime}: F \rightarrow F^{\prime}$ 而且保持 $R$ 的元素映到自己．又因为 $F^{\prime}$ 是 $R$ 的商域，$F^{\prime}$ 的每个元素 $x^{\prime}=a \cdot b^{-1}, a, b \in R$ ，是 $F$ 中元素 $x=a \cdot b^{-1}$在 $\eta^{\prime}$ 下的象，因而 $\eta^{\prime}$ 是满射．所以 $\eta^{\prime}$ 是 $F$ 到 $F^{\prime}$ 的一个同构而且保持 $R$ 的元素不动。

\＃

例 5．7．1 $\quad \mathrm{Z}$ 的商域是 $\mathbf{Q}$ ．
证明 $\mathbf{Z}$ 的商域 $=\left\{\left.\frac{a}{b} \right\rvert\, a, b \in \mathbf{Z}, b \neq 0\right\}$ ，而 $\mathbf{Q}=\left\{a b^{-1} \mid a, b \in \mathbf{Z}, b \neq 0\right\}$ ．令

$$
\eta: \frac{a}{b} \mapsto a b^{-1}
$$

则 $\eta$ 是域同构．所以 $\mathbf{Z}$ 的商域 $\cong \mathbf{Q}$ ．

\＃

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