最后更新: 2025-12-24 17:14 查看: 6 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

环在编码和密码中的应用

现代通信系统中用数字代表信息，在信息传递的过程中既要解决信息传递的
可靠性问题，也要解决信息的保密性问题，这就需要用到相应的编码和密码技术.
为了有效检测或者纠正数字信息在信道传输过程中出现的错误，通常需要对
信息进行编码，比如重复码、奇偶校验码、汉明码等都是常用的纠错码.特别地，基于有限域上的多项式环可以构造一类重要的纠错码一一循环码.

有限域 $\mathbf{F}_q$ 上 $n$ 维线性空间 $\mathbf{F}_q^n$ 的每个非空子集 $C$ 都称为一个 $q$ 元纠错码， $C$ 中的每个向量 $c=\left(c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\right)$ 称为一个码字，$n$ 称为该码的码长，$K= |C|$ 为码字个数，$k=\log _q K$ 称为信息位数，$\frac{k}{n}$ 称为码率．

设 $u=\left(u_0, u_1, \cdots, u_{n-1}\right), v=\left(v_0, v_1, \cdots, v_{n-1}\right) \in \mathbf{F}_q^n, u$ 中非零分量 $u_i(0 \leqslant i \leqslant n-1)$ 的个数称为向量 $u$ 的汉明重量，记为 $w_{\mathrm{H}}(u)$ ．向量 $u$ 和 $v$ 中不同的分量的个数称为向量 $u$ 和 $v$ 的汉明距离，记为 $d_{\mathrm{H}}(u, v)$ ，即有 $d_{\mathrm{H}}(u, v)= w_{\mathrm{H}}(u-v)$ ．对任意 $u, v, w \in \mathbf{F}_q^n$ ，容易验证下面的三角不等式成立：

$$
d_{\mathrm{H}}(u, v) \leqslant d_{\mathrm{H}}(u, w)+d_{\mathrm{H}}(w, v) .
$$

码 $C$ 的最小距离 $d(C)$ 定义为 $C$ 中不同码字之间汉明距离的最小值．码的最小距离反映了码的纠错能力．由最小距离的定义和三角不等式可以证明：最小距离为 $d$ 的纠错码可以检查 $\leqslant d-1$ 位错误，也可以纠正 $\leqslant\left[\frac{d-1}{2}\right]$ 位错误，这里的 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．

对于参数为 $(n, K, d)$ 的 $n$ 长 $q$ 元码 $C$ ，如果 $K \leqslant q^{n-d+1}$ 或者 $k \leqslant n-d$ +1 （满足辛格尔顿（Singleton）界），则称 $C$ 为 MDS（maximal distance separa－ ble）码．这是一类性质较好的纠错码．分组密码中的最优扩散层变换也经常基于这类码构造．

对于 $q$ 元纠错码 $C$ ，如果 $C$ 能够构成 $\mathbf{F}_q^n$ 的一个线性子空间，则 $C$ 是一个 $q$元线性码．进而，如果码 $C$ 的每个码字 $c=\left(c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\right)$ 的任意循环移位还是 $C$ 的一个码字，比如 $c^{\prime}=\left(c_1, \cdots, c_{n-1}, c_0\right) \in C$ ，则称 $C$ 为一个循环码。

对于线性码 $C$ ，如果把码字 $c=\left(c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\right)$ 写成多项式 $c(x)=c_0+ c_1 x+\cdots+c_{n-1}

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