最后更新: 2026-01-02 21:57 查看: 8 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

连通性

§4 连 通 性
普通的几何中图形的＂连通＂性是一个非常直观的概念，它几乎无须给出数学定义。譬如，谁都知道，在圆锥曲线中，椭圆和抛物线是连通的，而双曲线是不连通的．然而，对于复杂一些的图形，单凭直观就不行了。我们来看一个例子。

例1 设 $E^2$ 的一个子集 $X$ 是由 $A$ 和 $B$ 两部分构成的 （图 2－6），其中

$$
\begin{aligned}
& A=\left\{\left.\left(x, \sin \frac{1}{x}\right) \right\rvert\, x \in(0,1)\right\}, \\
& B=\{(0, y) \mid-1 \leqslant y \leqslant 1\} .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2026-01/5581f5.jpg)

单凭直观概念，很难判断 $X$ 是不是连通的。
对图形连通性的认识必须深化。现在，我们要把连通性作为拓扑概念给出严格的定义．直观上的连通，可以有两种含义：其一是图形不能分割成互不＂粘连＂的两部分；其二是图形上任何两点可以用图形上的线连结．在拓扑学中，这两种含义分别抽象成＂连通性＂和＂道路连通性＂两个概念．它们分别在本节和下一节中讨论．这是两个不同的概念．例如对于上面给出的空间 $X$ ，将看到它连通，但并不道路连通．
$=A \cup B, A$ 和 $B$ 是不相交的非空子集，并且 $A$ 和 $B$ 都不包含对方的聚点，也就是说 $A$ 和 $B$ 是不相交的闭集（从而也是开集）．于是得到连通的定义：

定义2． 6 拓扑空间 $X$ 称为连通的，如果它不能分解为两个非空不相交开集的并。

显然，连通与下面几种说法是等价的：
$X$ 不能分解为两个非空不相交闭集的并；
$X$ 没有既开又闭的非空真子集；
$X$ 的既开又闭的子集只有 $X$ 与 $\varnothing$ 。
例如，$\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交；$\left(\boldsymbol{R}, \tau_c\right)$ 也是连通的．双曲线不连通，它的两支是互不相交的非空闭集。然而，许多直观上连通的空间按照上面的定义来判断并不马上能得出结论，例如 $\boldsymbol{E}^1$ 的连通性和抛物线、椭圆的连通性就是如此。我们常常根据连通的一些性质，从一些已知连通空间来论证其他空间的连通性． $\boldsymbol{E}^1$ 的连通性是我们的出发点，下面先来证明它．

设 $A$ 是 $\boldsymbol{E}^1$ 的非空真闭集，要证 $A$ 不是开集．不妨设 $0 \bar{\in} A$ ，但$A$ 中含正数．记 $a$ 是 $A$ 中正数的下确界，由于 $A$ 闭，$a \in A$ ，且 $a>$ 0 ．而由 $(0, a) \cap A=\varnothing$ 推出 $a$ 不是 $A$ 的内点，从而 $A$ 不是开集。这就论证了 $\boldsymbol{E}^1$ 不存在非空的既开又闭的真子集，按定义， $\boldsymbol{E}^1$ 是连通的．

4． 2 连通空间的性质
命题2．21 连通空间在连续映射下的像也是连通的。
证明 设 $X$ 连通，$f: X \rightarrow Y$ 连续。要证 $f(X)$ 也连通。不妨设 $f(X)=Y$（否则考虑连续映射 $f: X \rightarrow f(X)$ ）．设 $B$ 是 $Y$ 的既开又闭的非空子集，则 $f^{-1}(B)$ 是 $X$ 的既开又闭子集．$f^{-1}(B)$ 是非空的 （因为 $f$ 满），因此从 $X$ 的连通性知道 $f^{-1}(B)=X$ ，从而 $B=Y$（也是因为 $f$ 满）．这说明 $Y$ 的既开又闭非空子集只有 $Y$ ，按定义，$Y$ 连通。

例 $2 S^1$ 是连通的．
这是因为有连续映射 $f: \boldsymbol{E}^1 \rightarrow S^1, f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \times x}, \forall x \in \boldsymbol{E}^1$ ． $f\left(\boldsymbol{E}^1\right)=S^1$ ，由 $\boldsymbol{E}^1$ 连通，用命题2．21推得 $S^1$ 连通。
$\boldsymbol{E}^1$ 上的子集 $A$ 称为区间，如果当 $a, b \in A$ 时（ $a<b$ ）必有 $[a, b]

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