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连通性

## 连通性
普通的几何中图形的＂连通＂性是一个非常直观的概念，它几乎无须给出数学定义。譬如，谁都知道，在圆锥曲线中，椭圆和抛物线是连通的，而双曲线是不连通的．然而，对于复杂一些的图形，单凭直观就不行了。我们来看一个例子。

`例` 设 $E^2$ 的一个子集 $X$ 是由 $A$ 和 $B$ 两部分构成的 （图 2－6），其中

$$
\begin{aligned}
& A=\left\{\left.\left(x, \sin \frac{1}{x}\right) \right\rvert\, x \in(0,1)\right\}, \\
& B=\{(0, y) \mid-1 \leqslant y \leqslant 1\} .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2026-01/5581f5.jpg)

单凭直观概念，很难判断 $X$ 是不是连通的。
对图形连通性的认识必须深化。现在，我们要把连通性作为拓扑概念给出严格的定义．直观上的连通，可以有两种含义：其一是图形不能分割成互不＂粘连＂的两部分；其二是图形上任何两点可以用图形上的线连结．在拓扑学中，这两种含义分别抽象成＂**连通性**＂和＂**道路连通性**＂两个概念．它们分别在本节和下一节中讨论．这是两个不同的概念．例如对于上面给出的空间 $X$ ，将看到它连通，但并不道路连通．

## 连通性的定义
从拓扑上解释＂空间 $X$ 分割成互不粘连的两部分 $A$ 和 $B$＂，就是说 $X=A \cup B, A$ 和 $B$ 是不相交的非空子集，并且 $A$ 和 $B$ 都不包含对方的聚点，也就是说 $A$ 和 $B$ 是不相交的闭集（从而也是开集）．于是得到连通的定义：

**定义2.6** 拓扑空间 $X$ 称为连通的，如果它不能分解为两个非空不相交开集的并。

显然，连通与下面几种说法是等价的：
$X$ 不能分解为两个非空不相交闭集的并；
$X$ 没有既开又闭的非空真子集；
$X$ 的既开又闭的子集只有 $X$ 与 $\varnothing$ 。
例如，$\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交；$\left(\boldsymbol{R}, \tau_c\right)$ 也是连通的．双曲线不连通，它的两支是互不相交的非空闭集。然而，许多直观上连通的空间按照上面的定义来判断并不马上能得出结论，例如 $\boldsymbol{E}^1$ 的连通性和抛物线、椭圆的连通性就是如此。我们常常根据连通的一些性质，从一些已知连通空间来论证其他空间的连通性． $\boldsymbol{E}^1$ 的连通性是我们的出发点，下面先来证明它．

设 $A$ 是 $\boldsymbol{E}^1$ 的非空真闭集，要证 $A$ 不是开集．不妨设 $0 \bar{\in} A$ ，但$A$ 中含正数．记 $a$ 是 $A$ 中正数的下确界，由于 $A$ 闭，$a \in A$ ，且 $a>$ 0 ．而由 $(0, a) \cap A=\varnothing$ 推出 $a$ 不是 $A$ 的内点，从而 $A$ 不是开集。这就论证了 $\boldsymbol{E}^1$ 不存在非空的既开又闭的真子集，按定义， $\boldsymbol{E}^1$ 是连通的．

## 4.2 连通空间的性质
**命题2.21** 连通空间在连续映射下的像也是连通的。
证明 设 $X$ 连通，$f: X \rightarrow Y$ 连续。要证 $f(X)$ 也连通。不妨设 $f(X)=Y$（否则考虑连续映射 $f: X \rightarrow f(X)$ ）．设 $B$ 是 $Y$ 的既开又闭的非空子集，则 $f^{-1}(B)$ 是 $X$ 的既开又闭子集．$f^{-1}(B)$ 是非空的 （因为 $f$ 满），因此从 $X$ 的连通性知道 $f^{-1}(B)=X$ ，从而 $B=Y$（也是因为 $f$ 满）．这说明 $Y$ 的既开又闭非空子集只有 $Y$ ，按定义，$Y$ 连通。

`例` $ S^1$ 是连通的．
这是因为有连续映射 $f: \boldsymbol{E}^1 \rightarrow S^1, f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \times x}, \forall x \in \boldsymbol{E}^1$ ． $f\left(\boldsymbol{E}^1\right)=S^1$ ，由 $\boldsymbol{E}^1$ 连通，用命题2．21推得 $S^1$ 连通。
$\boldsymbol{E}^1$ 上的子集 $A$ 称为区间，如果当 $a, b \in A$ 时（ $a<b$ ）必有 $[a, b] \subset A$ ；也就是说 $A$ 是凸集．

`例`设 $A \subset \boldsymbol{E}^1$ ，则 $A$ 连通 $\Longleftrightarrow A$ 是区间．
证明 $\Longrightarrow$ ．若 $A$ 不是区间，则可取到实数 $a, b, c$ 使得 $a< c<b$ ，并且 $a, b \in A$ ，而 $c \bar{\in} A$ ．记 $A_1=A \cap(-\infty, c), A_2=A \cap (c,+\infty)$ ，则 $A=A_1 \cup A_2, A_1 \cap A_2=\varnothing, A_1$ 与 $A_2$ 都是 $A$ 的非空开集，因此 $A$ 不连通．

$\Longleftarrow$若 $A$ 是区间，则 $A$ 是下列几种形式之一：

$$
(a, b),[a, b],[a, b),(a, b],
$$

其中 $a, b$ 分别可取 $-\infty$ 和 $+\infty, a<b$ ，对于 $[a, b]$ 可允许 $a=b$ ，此时它为一点．$(a, b) \cong \boldsymbol{E}^1$ ，因此连通．由 $f(x)=|x|$ 给出连续满映射 $f: \boldsymbol{E}^1 \rightarrow[0,+\infty)$ ，因此 $[0,+\infty)$ 连通，从而 $[a, b) \cong(a, b] \cong [0,+\infty)$ 也连通．规定 $g: \boldsymbol{E}^1 \rightarrow[a, b]$ 为
$$
g(x)= \begin{cases}a, & x \leqslant a \\ x, & a \leqslant x \leqslant b \\ b, & b \leqslant x .\end{cases}
$$

则 $g$ 是连续满映射，因此 $[a, b]$ 连通．

**推论 连通空间上的连续函数取到一切中间值（即像集是区间）**。

证明 设 $X$ 连通，$f: X \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 连续，则 $f(X)$ 是 $\boldsymbol{E}^1$ 的连通子集．由例 3 ，它是区间．

**引理** 若 $X_0$ 是 $X$ 的既开又闭的子集，$A$ 是 $X$ 的连通子集，则或者 $A \cap X_0=\varnothing$ ，或者 $A \subset X_0$ 。

证明 $A \cap X_0$ 是 $A$ 的既开又闭子集．由于 $A$ 连通，则或者 $A \cap X_0=\varnothing$ ，或者 $A \cap X_0=A$ ，即 $A \subset X_0$ 。

**命题2.22** 若 $X$ 有一个连通的稠密子集，则 $X$ 连通。
证明 设 $A$ 是 $X$ 的连通稠密子集，$X_0$ 是 $X$ 的既开又闭子集。如果 $X_0 \neq \varnothing$ ，则 $X_0 \cap A \neq \varnothing$（第一章 $\S 1$ 习题 15），由引理，$A \subset X_0$ ．于是 $X=\bar{A} \subset \bar{X}_0=X_0$ ，从而 $X_0=X$ ．这样，$X$ 的既开又闭子集只有 $\varnothing$ 和 $X$ ，因此连通。

**推论** 若 $A$ 是 $X$ 的连通子集，$A \subset Y \subset \bar{A}$ ，则 $Y$ 连通．
证明 这是因为在 $Y$ 中看，$A$ 是稠密子集．
下面用引理推出判断连通的一个常用法则．

**命题2.23** 如果 $X$ 有一个连通覆盖 $\mathscr{U}(\mathscr{U}$ 中每个成员都连通），并且 $X$ 有一连通子集 $A$ ，它与 $\mathscr{U}$ 中每个成员都相交，则 $X$连通．

证明 设 $X_0$ 是 $X$ 的既开又闭子集．要证明 $X_0=\varnothing$ 或 $X$ ．
根据引理，$A \cap X_0=\varnothing$ 或 $A \subset X_0$ 。如果 $A \cap X_0=\varnothing$ ，则 $\forall U \in \mathscr{U}$ ，因为 $U \cap A \neq \varnothing$ ，所以 $U \not \subset X_0$ ．由引理，$U \cap X_0=\varnothing$ ，则 $X_0=\left(\bigcup_{U \in \mathscr{U}} U\right) \cap X_0=\bigcup_{U \in \mathscr{U}}\left(U \cap X_0\right)=\varnothing$ 。如果 $A \subset X_0$ ，则 $\forall U \in \mathscr{U}, U \cap X_0 \supset U \cap A \neq \varnothing$ ．由引理，$U \subset X_0$ ，则 $X=\bigcup_{U \in \mathscr{U}} U \subset X_0$ ，
$X_0=X$.
本节开头的例1中规定的拓扑空间 $X$ 是连通的．因为 $A \cong (0,1)$ 是连通的， $\bar{A}=X$ ．用命题2．22，$X$ 连通．

`例`$ \boldsymbol{E}^2$ 是连通的。记 $B_x=\left\{(x, y) \mid y \in \boldsymbol{E}^1\right\}, \forall x \in \boldsymbol{E}^1$ 。则 $\left\{B_x \mid\right. \left.x \in \boldsymbol{E}^1\right\}$ 是 $\boldsymbol{E}^2$ 的连通覆盖。记 $A=\left\{(x, 0) \mid x \in \boldsymbol{E}^1\right\}$ ，则 $A$ 连通，$A \cap B_x \neq \varnothing, \forall x \in \boldsymbol{E}^1$ 。用命题2．23， $\boldsymbol{E}^2$ 连通。

用归纳法可推出 $\boldsymbol{E}^n$ 连通．

`例`$ S^n$ 连通。任取点 $x \in S^n$ ，则 $S^n \backslash\{x\} \cong \boldsymbol{E}^n$ 是连通的，显然它是 $S^n$ 的稠密子集．用命题2．22得出 $S^n$ 连通．

**定理 2.8 连通性是可乘的**．
证明 设 $X$ 和 $Y$ 都是连通空间．则 $\{X \times\{y\} \mid y \in Y\}$ 是 $X \times Y$的连通覆盖。取 $x \in X$ ，则 $\{x\} \times Y$ 连通，且与每个 $X \times\{y\}$ 都相交．根据命题 2．23，$X \times Y$ 连通．

## 4.3 连通分支

连通分支是研究不连通空间时引出的一个概念．
**定义2.7** 拓扑空间 $X$ 的一个子集称为 $X$ 的连通分支，如果它是连通的，并且不是 $X$ 的其他连通子集的真子集。

当 $A$ 是 $X$ 的连通分支时，如果 $X$ 的子集 $B \supset A$ ，并且 $B \neq A$ ，则 $B$ 不连通．因此可以说连通分支就是极大连通子集．

当 $X$ 连通时，它只有一个连通分支，就是 $X$ 自身．
下面的命题说明连通分支的存在性．

**命题2.24** $X$ 的每个非空连通子集包含在唯一的一个连通分支中．

证明 设 $A$ 是 $X$ 的一个非空连通子集．记 $\mathscr{F}=\{F \subset X \mid F$ 连通，$F \cap A \neq \varnothing\}, Y=\bigcup_{F \in \mathscr{F}} F$ ，则 $A \subset Y$（因为 $A \in \mathscr{F}$ ）．根据命题 2． $23, Y$ 连通．如果连通子集 $B \supset Y$ ，则 $B \cap A=A \neq \varnothing$ ，从而 $B \in \mathscr{F}, B \subset Y$ ．这说明 $Y$ 是连通分支．
如果 $Y^{\prime}$ 也是包含 $A$ 的连通分支，则 $Y^{\prime} \in \mathscr{F}$ ，因而 $Y^{\prime} \subset Y$ ．由 $Y^{\prime}$ 的极大性，得 $Y^{\prime}=Y$ 。这证明了唯一性。
$X$ 中任一点 $x$ 作为子空间是连通的，因此 $x$ 包含在唯一的连通分支中。换句话说，$X$ 的所有连通分支构成 $X$ 的覆盖，并且它们两两不相交。

`例` 记 $X$ 是 $E^1$ 中全体有理数构成的子空间．因为 $X$ 中多于一点的子空间都不连通（不是区间），所以 $X$ 中的每个连通分支都是单点集。

**命题2.25** 连通分支是闭集．
证明 设 $A$ 是 $X$ 的一个连通分支。根据命题 $2.22, \bar{A}$ 也是连通的．由 $A$ 的极大性推出 $\bar{A}=A$ ，因此 $A$ 是闭集．

`例` 说明连通分支不必是开集．

## 4.4 局部连通性
**定义2.8** 拓扑空间 $X$ 称为局部连通的，如果 $\forall x \in X, x$ 的所有连通邻域构成 $x$ 的邻域基。

按定义，当 $X$ 局部连通时，如果 $U$ 是点 $x$ 的邻域，则必有 $x$ 的连通邻域 $V \subset U$ ．
和局部紧致的概念不同，连通空间不一定是局部连通的．

`例`例1中的 $X$ 是连通的，但 $X$ 不是局部连通的．取原点 $O=(0,0)$ ．记 $U=\{(x, y) \in X \mid y \neq-1\}$ ，则 $U$ 中不包含 $O$ 的任何连通邻域。（由本节习题 $10, U$ 的含 $O$ 的连通分支是 $B \backslash\{(0$, $-1)\}$ ，它不是 $O$ 的邻域。因此 $U$ 中含 $O$ 的连通子集都不是 $O$ 的邻域。）

**命题2.26** 局部连通空间的连通分支是开集。
证明 设 $X$ 局部连通，$A$ 是 $X$ 的一个连通分支。 $\forall x \in A$ ，因为 $x$ 有一个连通邻域，它也必包含在 $A$ 中，所以 $x$ 是 $A$ 的内点。因此 $A$ 是开集．

## 疑难解答

> Q 通俗理解连通性

在拓扑学中，**连通性** 描述的是一个拓扑空间能否被分割成两个互不相交的非空开集。简单来说，就是问这个空间是否“一整块”的，没有断裂成几个分离的部分。

**1. 通俗理解**

-   **连通的**：你可以从空间里任何一点，沿着空间内的路径（不必是直线）连续地移动到另一点，而不会离开这个空间。比如一条完整的线段、一个圆盘、一个球面。
-   **不连通的**：空间可以分成两个或更多彼此远离的“块”，块之间没有交集，且没有“桥梁”连接。比如两个分离的圆盘、一条中间被挖掉一段的线段。

**2. 严格数学定义**

拓扑空间 $ X $ 称为**连通**的，如果它**不能**表示为两个非空不相交开集的并集。  
等价说法：$ X $ 中既开又闭的子集只能是 $ \varnothing $ 或 $ X $ 本身。

**3. 关键区分：道路连通**

-   **道路连通**：空间中任意两点都能用一条连续曲线（道路）连接。它比连通更强：**道路连通 ⇒ 连通**，但反过来不一定成立。
-   **经典反例**：**拓扑学家的正弦曲线**  
    $$
    \{ (x, \sin\frac{1}{x}) \mid 0 < x \le 1 \} \cup \{ (0, y) \mid -1 \le y \le 1 \}
    $$  
    它是连通的（无法被两个不相交开集分开），但不是道路连通的（无法从正弦曲线部分连到y轴上的点）。

**4. 直观意义**

-   **连通**：空间是一个“整体”，不能切成两个分离的开放部分。
-   **不连通**：空间由若干“连通分支”拼成，比如两个不相交的圆。

**5. 例子**

-   连通：$ \mathbb{R} $、$ \mathbb{R}^n $、圆 $ S^1 $、球面 $ S^2 $、闭区间 $[0,1]$。
-   不连通：两个分离的闭圆盘、有理数集 $ \mathbb{Q} $（任何两个非空开集都会分离它）、离散空间（多于一点时都不连通）。

**6. 为什么重要？**

连通性是一种**拓扑不变性质**（连续映射保持连通性），因此能用来判断两个空间是否同胚。例如，$ [0,1] $ 与 $ [0,1) \cup (1,2] $ 不同胚，因为前者连通，后者不连通。它也是分析、几何、动力系统等领域的基本概念。

> Q  连通空间上的连续函数取到一切中间值什么意思

他其实是数学分析中**介值定理**在拓扑学中的推广。它的准确表述是：

**定理**：设 $ X $ 是一个连通拓扑空间，$ f: X \to \mathbb{R} $ 是连续函数。若 $ x_1, x_2 \in X $，且 $ f(x_1) = a $，$ f(x_2) = b $，那么对于任意介于 $ a $ 与 $ b $ 之间的实数 $ c $，都存在某个 $ x \in X $，使得 $ f(x) = c $。

直观理解
- 连通空间 $ X $ 是“一整块”的，不能分裂成两个分离的开集。
- 连续函数保持连通性：$ f(X) $ 是 $ \mathbb{R} $ 中的连通子集。
- 在实数轴 $ \mathbb{R} $ 中，**连通子集恰好就是区间**（包括单点、开区间、闭区间、半开半闭、无穷区间等）。
- 因此 $ f(X) $ 是一个区间，而区间自然具有“取到中间值”的性质。

>  连通分支

**连通分支**是连通性概念的一个自然延伸：当拓扑空间不连通时，我们可以把它分解成若干个最大的连通子空间，每个这样的子空间就叫做一个**连通分支**。

### 1. 定义

设 $X$ 是一个拓扑空间。在 $X$ 上定义一个关系 $\sim$：

> 对于 $x, y \in X$，称 $x \sim y$ 如果存在一个连通子集 $C \subseteq X$ 同时包含 $x$ 和 $y$。

可以验证这是一个等价关系（自反、对称、传递）。每个等价类就称为 $X$ 的一个**连通分支**。

另一种等价定义：**连通分支**是 $X$ 中**极大的连通子集**（即不能再被更大的连通子集包含的连通子集）。

### 2. 基本性质

- **每个连通分支都是连通的**（由极大性保证）。
- **不同分支互不相交**，它们的并集等于整个 $X$。
- **每个分支都是闭集**（但不一定是开集，在局部连通空间中才是开集）。
- 如果 $X$ 只有有限个分支，则每个分支也是开集（因为有限个闭集的补集是开集）。

### 3. 简单例子

| 空间 $X$ | 连通分支 |
| --- | --- |
| $\mathbb{R}$（实数轴） | 1 个分支：$\mathbb{R}$ 本身（连通） |
| 两个不相交的开圆盘 | 2 个分支：每个圆盘是一个分支 |
| 有理数集 $\mathbb{Q}$（作为 $\mathbb{R}$ 的子空间） | 每个单点 $\{q\}$ 是一个分支（因为 $\mathbb{Q}$ 完全不连通） |
| 闭区间 $[0,1] \cup [2,3]$ | 2 个分支：$[0,1]$ 和 $[2,3]$ |
| 单位圆 $S^1$ | 1 个分支：$S^1$ 本身 |

### 4. 特殊情形：道路连通分支

- **道路连通分支**：用“存在一条连续路径连接两点”定义等价关系，得到的等价类。  
- 关系：每个**道路连通分支**一定包含在某个**连通分支**中；反之不一定（因为有拓扑学家正弦曲线那种连通但不道路连通的例子）。
- 更细致的关系：
  - 道路连通分支是道路连通的极大子集。
  - 连通分支可能大于道路连通分支（例如正弦曲线有 1 个连通分支，但道路连通分支是无穷多个？需澄清：正弦曲线整体是连通的，所以连通分支只有一个；但它不是道路连通的，所以**道路连通分支**实际上也是只有一个？等一下——检查一下：正弦曲线中，从正弦曲线部分到y轴上的点无法用道路连接，但整个空间作为一个等价类？实际上定义道路连通分支时，是用**道路连接性**划分等价类，所以y轴上的每个点与正弦曲线上的点不在同一道路连通分支？不对，那样会分成许多分支，但标准结论是：拓扑学家正弦曲线是**连通但不是道路连通**，并且它有**一个连通分支**（整体），但**道路连通分支**却不止一个——这并不矛盾，因为道路连通分支更细。事实上，正弦曲线的道路连通分支有两个：一个是正弦曲线部分 $\{ (x, \sin(1/x)) \}$，另一个是整个y轴线段 $\{0\}\times[-1,1]$？不对，y轴本身是道路连通的吗？是的，但y轴与正弦曲线部分之间没有道路连接，所以这是两个道路连通分支。但注意，整个正弦曲线只有一个连通分支，因为这两个道路连通分支互相靠近但无法分开成两个不相交开集。这是一个经典区分连通与道路连通的例子。

所以更准确地说：
- **连通分支**的个数 ≤ **道路连通分支**的个数。
- 当空间局部道路连通时（如流形、开集在 $\mathbb{R}^n$ 中），二者一致。

### 5. 连通分支的用途

- **分解空间**：把复杂空间分解成简单的“块”。
- **研究不变量**：连通分支的个数是拓扑不变量（同胚的空间有相同数量的分支），可以用来区分不同胚的空间。
- **简化问题**：分析函数性质时，通常可以逐个分支考虑。

### 6. 与连续函数的关系

如果 $f: X \to Y$ 连续，那么 $f$ 把每个连通分支映到 $Y$ 的某个连通分支中（因为连通子集的连续像连通）。换句话说，连通分支之间的映射是良定义的。
 
> Q 局部连通性

**局部连通性**是拓扑学中另一个重要的连通性相关概念。它描述的不是空间整体是否连通，而是空间在**每一点附近**是否具有连通的结构。

简单来说：一个空间是局部连通的，如果空间中的每一个点，无论你取一个多么小的邻域，都能在这个邻域内部找到一个连通的、更小的邻域。

### 1. 直观理解

想象一下现实中的物体：
-   **圆盘**：在圆盘上任意一点周围画一个小圆，这个小圆内部是完全连成一片的（连通）。所以圆盘是局部连通的。
-   **两条相交的线段（X形）**：在交点处，无论取多小的邻域，它看起来都像一个十字，仍然是连通的。所以也是局部连通的。
-   **拓扑学家的正弦曲线**：这个空间整体是连通的，但在y轴上的点附近，任何小邻域都包含许多条震荡的曲线碎片，这些碎片是不连通的（它们会被y轴上的点分隔开？等一下，需要准确判断）。实际上，在正弦曲线上，y轴上的点$((0, y)$)的任何小邻域都会与正弦曲线部分相交成无穷多条不连通的弧段，因此**不是局部连通的**。

### 2. 严格定义

拓扑空间$X$) 称为在点$x $in X$) 处**局部连通**，如果对于$x$) 的任意开邻域$U$)，都存在一个**连通的开邻域**$V$)，使得$x $in V $subseteq U$)。

如果$X$) 在它的每一个点处都是局部连通的，则称$X$) 是**局部连通**的。

### 3. 重要：局部连通 ≠ 连通

这两个概念是相互独立的，一个成立推不出另一个。

| 空间 | 是否连通？ | 是否局部连通？ | 说明 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **闭区间 [0,1]** | 是 | 是 | 经典例子。 |
| **两个不相交的圆盘** | 否 | 是 | 整体不连通，但每个圆盘内部是局部连通的。 |
| **拓扑学家的正弦曲线** | 是 | 否 | 经典反例：整体连通，但在y轴上的点处不局部连通。 |
| **有理数集 Q** | 否 | 否 | 既不连通也不局部连通（任意小邻域内都有理数点都是完全不连通的）。 |

所以，这四个组合（连通+局部连通，不连通+局部连通，连通+不局部连通，不连通+不局部连通）都是可能存在的。

### 4. 局部连通的重要性质

当一个空间是局部连通时，它的连通分支会具有很好的性质：

-   **连通分支是开集**：在局部连通空间中，每个连通分支都是开集（同时也是闭集）。
    -   对比：在一般的空间（如拓扑学家正弦曲线）中，分支可以是闭的但不是开的。
-   **连通分支等于道路连通分支**：在局部连通空间中，连通分支和道路连通分支是一致的。
-   **分解为不交开集**：局部连通空间可以唯一地分解成它的连通分支（每个都是开集）的不交并。

### 5. 常见例子

-   **是局部连通的**：欧氏空间$$mathbb{R}^n$)、流形、任何开集（作为$$mathbb{R}^n$) 的子空间）、图（由边和顶点组成的图形）、圆环面等。
-   **不是局部连通的**：
    -   拓扑学家的正弦曲线（如上所述）。
    -   有理数集$$mathbb{Q}$)（在$$mathbb{R}$) 的子空间拓扑下）：任意小的邻域都是完全不连通的。
    -   康托尔集：完全不连通，所以也不是局部连通的（除了孤立点，但康托尔集没有孤立点）。

### 6. 为什么局部连通性很重要？

-   **刻画“好”的空间**：在局部连通且局部道路连通的空间（比如流形、多面体）上，很多分析、代数拓扑的工具（如基本群、覆盖空间理论）才能顺利应用。
-   **分解与简化**：局部连通性保证了空间可以分解成一些“块”（连通分支），而这些块彼此之间是分离的（开集），方便分别研究。
-   **区分空间**：它可以用来区分不同胚的空间。例如，拓扑学家的正弦曲线与闭区间$[0,1]$) 虽然都连通，但前者不局部连通而后者局部连通，所以它们不同胚。

总结：**连通性**关心的是整体是否“一整块”，**局部连通性**关心的是每一点附近是否“一整块”。一个整体连通的怪空间可以处处不局部连通（如正弦曲线），一个整体不连通的平凡空间也可以处处局部连通（如两个分开的圆盘）。

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