最后更新: 2026-01-02 22:00 查看: 3 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

道路连通性

§5 道路连通性

道路连通是在直观连通概念基础上演化来的另一个拓扑性质．对于它，＂道路＂是关键概念．
 
5.1 道路

道路概念是＂曲线＂这种直观概念的抽象化．曲线可看作点运动的轨迹。如果把运动的起、终时刻记作 0 和 1 ，那么运动就是闭区间 $[0,1]$ 到空间的一个连续映射，曲线就是这个映射的像集．拓扑学中把这个连续映射称作道路，它比像集包含更丰富的含义。

定义2．9 设 $X$ 是拓扑空间，从单位闭区间 $I=[0,1]$ 到 $X$ 的一个连续映射 $a: I \rightarrow X$ 称为 $X$ 上的一条道路．把点 $a(0)$ 和 $a(1)$分别称为 $a$ 的起点和终点，统称端点．

道路是指映射本身，而不是它的像集．事实上可能有许多不同道路，它们的像集完全相同．在作图时，很难把映射表示出来，只能以它的像集代表它，并且画一箭头表示点运动的方向（图 2－7）．
 ![图片](/uploads/2026-01/334271.jpg)

如果道路 $a: I \rightarrow X$ 是常值映射，即 $a(I)$ 是一点，就称为点道路．点道路完全被像点 $x$ 决定．本书中把它记作 $e_x$ ．

起点与终点重合的道路称为闭路。例如点道路是闭路。
道路有两种运算：逆和乘积．
定义2． 10 一条道路 $a: I \rightarrow X$ 的逆也是 $X$ 上的道路，记作 $\bar{a}$ ，规定为 $\bar{a}(t)=a(1-t), \forall t \in I$（图 2．8（a））．

![图片](/uploads/2026-01/a8485a.jpg)
 $X$ 上的两条道路 $a$ 与 $b$ 如果满足 $a(1)=b(0)$ ，则可规定它们的乘积 $a b$ ，它也是 $X$ 上的道路，规定为

$$
a b(t)= \begin{cases}a(2 t), & 0 \leqslant t \leqslant 1 / 2, \\ b(2 t-1), & 1 / 2 \leqslant t \leqslant 1 .\end{cases}
$$

（因为 $a(1)=b(0)$ ，当 $t=1 / 2$ 时，$a(2 t)=a(1)=b(0)=b(2 t-1)$ ．所以 $a b$ 是确定的，并且由粘接引理知道，它是连续的．） （图28．（b））．

下面列出关于逆和乘积的几个性质，它们是容易验证的．
（1） $\bar{e}_x=e_x$ ；
（2）$\overline{(\bar{a})}=a$ ；
（3）当 $a b$ 有意义时， $\bar{b} \bar{a}$ 有意义，且 $\bar{b} \bar{a}=\overline{a b}$ ．
道路概念不仅在定义道路连通时有用，它也是代数拓扑学中一个重要的基本概念，是建立基本群的基础．
5.2 道路连通空间

定义2． 11 拓扑空间 $X$ 称为道路连通的，如果 $\forall x, y \in X$ ，存在 $X$ 中分别以 $x$ 和 $y$ 为起点和终点的道

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：连通性

下一篇：拓扑性质与同胚

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)