最后更新: 2026-04-19 21:04 查看: 49 次纠错评论(0) 课件开VIP

道路连通性

## 道路连通性

道路连通是在直观连通概念基础上演化来的另一个拓扑性质．对于它，＂道路＂是关键概念．
 
 **道路**
道路概念是＂曲线＂这种直观概念的抽象化．曲线可看作点运动的轨迹。如果把运动的起、终时刻记作 0 和 1 ，那么运动就是闭区间 $[0,1]$ 到空间的一个连续映射，曲线就是这个映射的像集．拓扑学中把这个连续映射称作道路，它比像集包含更丰富的含义。

**定义2.9** 设 $X$ 是拓扑空间，从单位闭区间 $I=[0,1]$ 到 $X$ 的一个连续映射 $a: I \rightarrow X$ 称为 $X$ 上的一条道路．把点 $a(0)$ 和 $a(1)$分别称为 $a$ 的起点和终点，统称端点．

道路是指映射本身，而不是它的像集．事实上可能有许多不同道路，它们的像集完全相同．在作图时，很难把映射表示出来，只能以它的像集代表它，并且画一箭头表示点运动的方向（图 2－7）．
 ![图片](/uploads/2026-01/334271.jpg)

如果道路 $a: I \rightarrow X$ 是常值映射，即 $a(I)$ 是一点，就称为点道路．点道路完全被像点 $x$ 决定．本书中把它记作 $e_x$ ．

起点与终点重合的道路称为闭路。例如点道路是闭路。
道路有两种运算：逆和乘积．
**定义2.10** 一条道路 $a: I \rightarrow X$ 的逆也是 $X$ 上的道路，记作 $\bar{a}$ ，规定为 $\bar{a}(t)=a(1-t), \forall t \in I$（图 2．8（a））．

![图片](/uploads/2026-01/a8485a.jpg)
 $X$ 上的两条道路 $a$ 与 $b$ 如果满足 $a(1)=b(0)$ ，则可规定它们的乘积 $a b$ ，它也是 $X$ 上的道路，规定为

$$
a b(t)= \begin{cases}a(2 t), & 0 \leqslant t \leqslant 1 / 2, \\ b(2 t-1), & 1 / 2 \leqslant t \leqslant 1 .\end{cases}
$$

（因为 $a(1)=b(0)$ ，当 $t=1 / 2$ 时，$a(2 t)=a(1)=b(0)=b(2 t-1)$ ．所以 $a b$ 是确定的，并且由粘接引理知道，它是连续的．） （图28．（b））．

下面列出关于逆和乘积的几个性质，它们是容易验证的．
（1） $\bar{e}_x=e_x$ ；
（2）$\overline{(\bar{a})}=a$ ；
（3）当 $a b$ 有意义时， $\bar{b} \bar{a}$ 有意义，且 $\bar{b} \bar{a}=\overline{a b}$ ．
道路概念不仅在定义道路连通时有用，它也是代数拓扑学中一个重要的基本概念，是建立基本群的基础．

## 5.2 道路连通空间

**定义2.11** 拓扑空间 $X$ 称为道路连通的，如果 $\forall x, y \in X$ ，存在 $X$ 中分别以 $x$ 和 $y$ 为起点和终点的道路。

`例` $ \boldsymbol{E}^n$ 是道路连通的，一般地若 $A$ 是 $\boldsymbol{E}^n$ 中的凸集（即 $A$ 满足：对 $A$ 中任意两点 $x, y$ ，线段 $\overline{x y} \subset A$ ），则 $A$ 是道路连通的．$\forall x, y \in A$ ，可作道路 $a$ 为 $a(t)=(1-t) x+t y, \forall t \in I$ ．$a$ 分别以 $x, y$ 为起点和终点．

作为运动，上述道路是从 $x$ 匀速地走向 $y$ 。以后对于 $\boldsymbol{E}^n$ 中的有方向的直线段、折线段以及圆弧都自然地看作这种匀速道路．如道路 $\overline{A B C D}$ ，是表示像点匀速地从 $A$ 出发沿折线段 $\overline{A B C D}$ 走到 $D$的道路．

`例` §4开头的例1中的 $X$ 不是道路连通的。下面我们证明：如果 $X$ 上的道路 $a$ 的起点 $a(0) \in B$ ，则 $a(I) \subset B$ ．从而 $B$ 中的点不能与 $A$ 中点用道路连结．

记 $J=a^{-1}(B)$ ，它是 $I$ 的非空闭集，只须再证 $J$ 是开集，就可
从 $I$ 的连通性推出 $J=I$ ，从而 $a(I) \subset B$ ．设 $t \in J$ ，则 $a(t) \in B$ ，不妨设 $a(t)=(0, y), y \neq-1$ ．这时，§ 4 例 7中所定义的 $U$ 就是 $a(t)$ 的开邻域（图 2－9）．由 $a$ 的连续性，存在 $t$ 的邻域 $W$ ，使得 $a(W) \subset U$ 。不妨可设 $W$ 连通 （因为 $I$ 是局部连通的），于是 $a(W)$连通，从而 $a(W)$ 包含于 $U$ 的含 $a(t)$的连通分支 $B \backslash\{(0,-1)\}$ 中．这样 $W \subset J, t$ 是 $J$ 的内点，$J$ 是开集．
§ 4 中已经说明 $X$ 是连通的．这个例子说明道路连通与连通是两个不同的概念．下面的命题说明它们的联系。
 ![图片](/uploads/2026-01/eaf129.jpg)
 
**命题 2.27 道路连通空间一定连通**．
证明 设 $X$ 道路连通．$\forall x_0, x_1 \in X$ ，则有 $X$ 中道路 $a$ ，使得 $a(i)=x_i, i=0,1$ ．于是 $x_0, x_1$ 在 $X$ 的同一连通子集 $a(I)$ 中，从而它们属于同一连通分支．这样 $X$ 只有一个连通分支，即 $X$ 连通。

道路连通空间也具有连通空间的某些性质。如

**命题 2.28 道路连通空间的连续映像是道路连通的**。
证明 设 $X$ 道路连通，$f: X \rightarrow Y$ 连续。 $\forall y_0, y_1 \in f(X)$ ，取 $x_i \in f^{-1}\left(y_i\right), i=0$ ，1．由于 $X$ 道路连通，有道路 $a$ ，使得 $a(i)=x_i, i=$ 0,1 ．于是 $f \circ a$ 是 $f(X)$ 中的道路，且 $f \circ a(i)=y_i, i=0,1$ ．这就证明了 $f(X)$ 是道路连通的．

道路连通性也是可乘的（本节习题3）。此外，对于道路连通性也有相当于命题2．23的结果（容易从下面对道路连通分支的讨论中推得）．但命题2． 22 对道路连通不成立．例 2 中的 $A \cong(0,1)$ ，是道路连通的，但 $X=\bar{A}$ 不道路连通．

## 5.3 道路连通分支

在拓扑空间 $X$ 中，规定它的点之间的一个关系～：若点 $x$ 与 $y$ 可用 $X$ 上的道路连结，则说 $x$ 与 $y$ 相关，记作 $x \sim y$ 。这是一个等价关系：$e_x$ 连结 $x$ 与自己，有自反性；当 $a$ 连结 $x$ 与 $y$ 时， $\bar{a}$ 连结 $y$与 $x$ ，有对称性；如果 $x \sim y, y \sim z$ ，设 $a$ 从 $x$ 到 $y, b$ 从 $y$ 到 $z$ ，则 $a$与 $b$ 可乘，并且 $a b$ 从 $x$ 到 $z$ ，得到传递性．

**定义2.12** 拓扑空间在等价关系～下分成的等价类称为 $X$的道路连通分支，简称道路分支．

按照定义，$\forall x \in X$ 属于 $X$ 的唯一道路分支；$X$ 的每个道路连通的子集包含在某个道路分支中；$X$ 道路连通的充分必要条件是它只有一个道路分支．

**命题2.29** 拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集．
证明 设 $A$ 是 $X$ 的道路分支。先证 $A$ 道路连通，即 $\forall x_0, x_1 \in A$ ，要构造 $A$ 上连结 $x_0, x_1$ 的道路。由道路分支的定义，存在 $X$ 上道路 $a$ ，使得 $a(i)=x_i, i=0,1$ 。由于 $a(I)$ 道路连通（命题2．28），它必含于一道路分支．又因为 $a(I)$ 与 $A$ 有交点，所以 $a(I) \subset A$ ．于是 $a$ 可看作 $A$ 上连结 $x_0, x_1$ 的道路。

再证极大性．设 $A \subset B, B$ 道路连通，则 $B$ 所在的道路分支就是 $A$ ，即 $A=B$ ．这证明了 $A$ 的极大性．
从命题立即可推出，$X$ 的每个道路分支都连通，因此必包含在某个连通分支中．于是，$X$ 的每个连通分支是一些道路分支的并集。

## 5.4 局部道路连通

类似于局部连通的定义，有局部道路连通的概念．
定义2． 13 拓扑空间 $X$ 称为局部道路连通的，如果 $\forall x \in X$ ， $x$ 的道路连通邻域构成 $x$ 的邻域基。

道路连通空间也不一定是局部道路连通的．

`例`记 $X$ 是 $\boldsymbol{E}^2$ 的＂筫形子集＂

$$
X=\{(x, y) \mid x \text { 是有理数, 或 } y=0\} \text {. }
$$

显然 $X$ 道路连通，但不是局部道路连通的（请读者自己验证）。

**引理** 如果拓扑空间 $X$ 的每一点 $x$ 有邻域 $U_x$ ，使得 $x$ 与 $U_x$中每一点都可用 $X$ 上道路连结，则
（1）$X$ 的道路分支都是既开又闭的；
（2）$X$ 的连通分支就是道路分支。
证明（1）引理的条件就是 $\forall x \in X$ 有邻域 $U_x$ ，它与 $x$ 属同一道路分支，这样 $x$ 是它所在道路分支的内点，因此每个道路分支是开集．道路分支 $A$ 的余集 $A^c$ 是其他道路分支的并集，因此是开集．于是 $A$ 又是闭的．
（2）设 $A$ 是道路分支，$B$ 是包含 $A$ 的连通分支．则 $A$ 是 $B$ 的既开又闭的非空子集，从而 $A=B$ ．

局部道路连通空间满足引理的条件，因此有

**定理2.9** 局部道路连通空间 $X$ 的道路分支就是连通分支，它们是既开又闭的；当 $X$ 连通时，它一定道路连通．

## 疑难解答
> Q 道路连通性是什么意思

“道路连通性”是拓扑学中的一个重要概念，用来描述一个空间内任意两点能否用一条连续的路径连接起来。

### 1. 通俗解释
想象一个区域（比如一张纸、一个圆盘，或者一个环面）。  
- **如果** 你能在这个区域里，**不离开该区域**，画出一条连续的曲线连接任意选定的两点，那么这个区域就是**道路连通**的。  
- **如果** 存在两点，无论你怎么画连续曲线，都无法在不离开区域的情况下连接它们，那么它就是**不道路连通**的。

**例子**：  
- 一条直线、一个圆盘、一个球面（例如地球表面）都是道路连通的。  
- 两个分开的圆盘（不重叠）合在一起，从左边圆盘一点到右边圆盘一点，无法不跳出集合画出连续路径，所以**不道路连通**。

### 2. 严格定义（拓扑学）
设 $X$ 是一个拓扑空间，$a, b \in X$。  
一条从 $a$ 到 $b$ 的**道路**是一个连续映射 $\gamma: [0,1] \to X$，满足 $\gamma(0) = a$，$\gamma(1) = b$。

若对任意 $a, b \in X$，都存在至少一条道路连接它们，则称 $X$ 是**道路连通**的。

### 3. 与“连通性”的区别
- **连通性**：不能用两个不相交的非空开集覆盖整个空间。  
- **道路连通性**：更强（更严格）的条件。  
  - 道路连通 ⇒ 连通  
  - 反之不成立：存在连通但不道路连通的例子（例如 **拓扑学家的正弦曲线**）。

### 4. 性质
- 道路连通空间一定是连通的。  
- 如果空间是连通的且**局部道路连通**（任意点邻域内存在道路连通的子邻域），那么它也是道路连通的。  
- 道路连通性在连续映射下保持：若 $f: X \to Y$ 连续且 $X$ 道路连通，则 $f(X)$ 道路连通。

> Q 道路连通空间也不一定是局部道路连通的什么意思

**“道路连通空间不一定是局部道路连通的”** 是正确的。反例就是 **拓扑学家的正弦曲线** 的一个变体（或者更精确地说，是它的一个闭包）。

让我们先明确这两个概念：

-   **道路连通**：空间中任意两点可以用一条连续曲线连接。
-   **局部道路连通**：空间中的每一个点，都有任意小的邻域是道路连通的。换句话说，道路连通性在每一点的局部成立。

### 经典反例：拓扑学家的正弦曲线

这个例子能完美说明，一个空间可以是整体道路连通的，但在某些点附近却不是局部道路连通的。

**构造**：
设 $S = \{ (x, \sin(1/x)) \mid x \in (0, 1] \} $ 是正弦曲线的一部分。再令 $T = \{0\} \times [-1, 1] $ 是y轴上从-1到1的一条线段。定义空间：
\[
X = S \cup T
\]
（通常取 $X $ 为 $S $ 在 $\mathbb{R}^2 $ 中的闭包，即 $\bar{S} = S \cup T $）。

**为什么这个空间是道路连通的？**
直观上，你可以从 $S $ 上的任何一点，沿着正弦曲线走到非常靠近y轴的地方，然后利用 $T $ 上的一条垂直路径到达 $T $ 上的任意一点。同样，$T $ 上的任意两点可以通过垂直路径连接。关键是，从 $S $ 上一点到 $T $ 上一点，可以构造一条路径：先沿正弦曲线趋近于点 $(0,0) $，然后沿 $T $ 移动。实际上，$X $ 是整体道路连通的（甚至也是连通的）。

**为什么这个空间不是局部道路连通的？**
考虑 $T $ 上的一个点，比如 $p = (0, 0.5) $。
-   取 $p $ 的一个非常小的开邻域 $U $（例如半径为 $0.2 $ 的圆盘）。
-   这个邻域 $U $ 会包含 $T $ 的一小段（垂直的线段），但同时也会包含 $S $ 中无限多条靠近y轴的震荡曲线片段。
-   在 $U $ 内部，$T $ 的部分和 $S $ 的部分是**分离的**（它们之间没有道路在 $U $ 内部连接）。因为要从 $T $ 上的点走到 $S $ 上的点，必须经过接近 $(0,0) $ 的区域，但 $(0,0) $ 不一定在 $U $ 内（如果 $U $ 足够小，它可能只包含 $T $ 上一小段和无限多条细碎的 $S $ 片段，但这些 $S $ 片段与 $T $ 并不相连）。
-   实际上，$U $ 会分裂成许多道路连通分支：一个来自 $T $ 的线段，以及无数个来自 $S $ 的互不相连的弧段。因此 $U $ **不是**道路连通的。

这就说明：尽管整体 $X $ 是道路连通的，但在点 $p = (0, 0.5) $ 处，任意小的邻域都不是道路连通的，所以 $X $ **不是局部道路连通的**。

### 总结：两者关系

-   **局部道路连通** 可以推出整体道路连通吗？  
    **不一定**：局部道路连通的空间如果不连通，那么整体当然不道路连通（例如两个分离的圆盘，每个圆盘自身是局部道路连通的，但整体不连通也不道路连通）。  
    但如果空间是**连通**的且**局部道路连通**，则它一定是**道路连通**的。

-   **道路连通** 可以推出局部道路连通吗？  
    **不能**，如上反例所示。道路连通性只保证整体有一条路径，但并不能保证在每个点的局部也有这种连通性。

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