最后更新: 2026-01-07 10:16 查看: 7 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

复数的诞生与历史渊源

## 历史的印记
**复数(complex number)**，最初诞生于16世纪，到现在已经过了四百多年了。现在，高中生基本上都知道，复数这个词讲的是一个形如 $a+\mathrm{i} b$ 的整体，这里 $a, b$ 是通常的实数，而 i 和任何普通的数都不同，具有 $\mathrm{i}^2=-1$ 这个性质。这个发现最终对整个数学有深远的影响，把许多原来根本不同的东西统一起来，解释了许多原来似乎不能理解的事情。
尽管今天复数仍在发展，但是，说真的，在复数诞生后的二三百年里，可以说几乎没有进展。

在那些如笛卡儿、费马、莱布尼茨那样伟大的智者甚至还有牛顿这样神话般的天才出生而又逝去的年代里，复数就像真空一样，在这些数学家或者物理学家里，完全被忽略,被无视，这就不得不道出一个残酷的事实：复数从一开始得到的并不是拥抱与赞美，相反，复出从一出生开始遭受到的是嘲笑、怀疑、甚至是敌意．

1545 年出版的**卡丹诺**(Cardano,意大利数学家) 的《大术》（Ars Magna）一书，通常被认为是复数的出生证。然而，即使在卡丹诺的著作中，这种数也是一被引入就被他当作＂既不可捉摸又没有用处＂而加以摒弃。
1572 庞贝利(Bombelli,意大利数学家)在他 1572 年出版的《代数》 （ $L^{\prime}$ Algebra）一书中才第一次对复数进行了实际的计算．甚至这时，庞贝利还否认复数的运算是他自己的创新，说＂所有这些似乎是以诡辩而不是以真理为基础的＂．

晚到 1702 年，莱布尼茨还把 -1 的平方根描述为＂介乎存在与不存在之间的两栖类＂。这种对复数的抵触情绪也在这个时期使用的名词上反映出来。我们把复数分为：实数和虚数。实数的英文是 Real Number，他表示的是“真实的数”，而虚数的英文是 imaginary Number，表示的是“虚构的数”。甚至到 1770 年时情况还很混乱，甚至像欧拉这样伟大的数学家还去论证 $\sqrt{-2} \sqrt{-3}=\sqrt{6}$

麻烦的根源似乎来自心理上或哲学上。如果谁也不知道怎样回答＂什么是复数＂这个问题，那可能就永远无法让大家接受复数。

直到 18 世纪末，这个问题才有了令人满意的答案。  韦塞尔 (Wessel，挪威测量学家) 、阿尔冈 (Argand,法国会计) 和高斯(Gauss,德国数学家)，相继独立然而很快一个接一个地认识到，可以给复数一个简单的具体的几何解释，即平面上的点（或向量）：应该把 $a+\mathrm{i} b$ 这个神秘的东西看成 $x y$ 平面上以 $(a, b)$ 为坐标的点，或等价地看成连接原点到此点的向量．见图 1－1．这样来看待的平面记作 $\mathbb{C}$ ，并称为复平面。

![图片](/uploads/2026-01/12072f.jpg)
 
 对两个复数的加法和乘法现在也可以赋予确定的几何意义，即解释为平面上相应的点（或向量）的几何运算．图 1－2a 演示了加法的法则：

**两个复数之和 $A+B$ 由通常向量加法的平行四边形法则给出 ...(1.1)**

注意，这与图1－1是一致的，因为（举例来说） $4+3 \mathrm{i}$ 确实是 4 与 3 i 之和．
图 1－2b 画出了不那么明显的乘法法则：

**$A B$ 之长是 $A$

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