最后更新: 2026-01-08 08:50 查看: 94 次纠错评论(0) 课件开VIP

正态分布均值、方差检验表★★★★★

## 正态分布的均值、方差检验表

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 上面列表很多，通常考试常考的是（1）（2）（4）基本上掌握着3个类型就可以了。
 
  ## 单样本均值检验 (σ 已知)

`例`  某生产线生产的标准件长度服从正态分布 N(μ, 0.05²) mm。现随机抽取 16 个样品，测得平均长度为 10.12 mm。问在显著性水平 α=0.05 下，能否认为该生产线生产的标准件平均长度符合标准 10.10 mm？

**解答：**

1.  **建立假设：**
    *   H₀: μ = 10.10 (符合标准)
    *   H₁: μ ≠ 10.10 (不符合标准) (双侧检验)

2.  **选择检验统计量：** 总体标准差 σ=0.05 已知，样本量 n=16，使用 **Z 检验**。
    *   Z = (x̄ - μ₀) / (σ / √n)

3.  **计算检验统计量值：**
    *   x̄ = 10.12, μ₀ = 10.10, σ = 0.05, n = 16
    *   Z = (10.12 - 10.10) / (0.05 / √16) = 0.02 / (0.05 / 4) = 0.02 / 0.0125 = 1.6

4.  **确定拒绝域：** α=0.05，双侧检验，临界值 Z_{α/2} = Z_{0.025} = ±1.96。
    *   拒绝域：Z < -1.96 或 Z > 1.96

5.  **做出决策：** 计算得到的 Z = 1.6，落在接受域 (-1.96, 1.96) 内。
    *   **结论：** 在显著性水平 0.05 下，**没有足够证据**拒绝原假设 H₀。即可以认为该生产线生产的标准件平均长度符合标准 10.10 mm。

## 单样本均值检验 (σ 未知，小样本)**

`例`某品牌电池声称其平均使用寿命为 200 小时。为检验此说法，质检部门随机抽取 9 节电池进行测试，测得平均寿命 x̄ = 195 小时，样本标准差 s = 10 小时。假设电池寿命服从正态分布，试在 α=0.05 的显著性水平下检验该品牌电池的声称是否可信？(双侧检验)

**解答：**

1.  **建立假设：**
    *   H₀: μ = 200 (声称可信)
    *   H₁: μ ≠ 200 (声称不可信) (双侧检验)

2.  **选择检验统计量：** 总体标准差 σ 未知，样本量 n=9 (小样本)，总体正态，使用 **t 检验**。
    *   t = (x̄ - μ₀) / (s / √n)，自由度 df = n - 1 = 8

3.  **计算检验统计量值：**
    *   x̄ = 195, μ₀ = 200, s = 10, n = 9
    *   t = (195 - 200) / (10 / √9) = (-5) / (10 / 3) = -5 / (3.333...) ≈ -1.5

4.  **确定拒绝域：** α=0.05，df=8，双侧检验，查 t 分布表得临界值 t_{α/2}(8) = t_{0.025}(8) = ±2.306。
    *   拒绝域：t < -2.306 或 t > 2.306

5.  **做出决策：** 计算得到的 t ≈ -1.5，落在接受域 (-2.306, 2.306) 内。
    *   **结论：** 在显著性水平 0.05 下，**没有足够证据**拒绝原假设 H₀。即不能认为该品牌电池的声称不可信（或者说，质检数据支持该品牌电池的声称）。
    
    
 
 ##  单样本方差检验

`例` 某精密零件的加工尺寸要求方差为 σ² ≤ 0.01 mm⁴。现从一批产品中随机抽取 16 个零件，测量其尺寸并计算样本方差 s² = 0.015 mm⁴。已知加工尺寸服从正态分布，试在 α=0.05 的显著性水平下检验这批产品的尺寸方差是否符合要求？(单侧检验，检验是否过大)

**解答：**

1.  **建立假设：** (检验方差是否超过上限 0.01)
    *   H₀: σ² ≤ 0.01 (符合要求)
    *   H₁: σ² > 0.01 (不符合要求，方差过大) (右侧检验)

2.  **选择检验统计量：** 检验单个正态总体的方差，使用 **χ² 检验**。
    *   χ² = (n - 1)s² / σ₀²，其中 σ₀² = 0.01 是原假设中的方差上限。自由度 df = n - 1 = 15

3.  **计算检验统计量值：**
    *   n=16, s²=0.015, σ₀²=0.01
    *   χ² = (16 - 1) * 0.015 / 0.01 = 15 * 0.015 / 0.01 = 15 * 1.5 = 22.5

4.  **确定拒绝域：** α=0.05，df=15，右侧检验，查 χ² 分布表得临界值 χ²_{α}(15) = χ²_{0.05}(15) = 24.996。
    *   拒绝域：χ² > 24.996

5.  **做出决策：** 计算得到的 χ² = 22.5，小于临界值 24.996，落在接受域内。
    *   **结论：** 在显著性水平 0.05 下，**没有足够证据**拒绝原假设 H₀。即可以认为这批产品的尺寸方差符合 σ² ≤ 0.01 mm⁴ 的要求。

## 两独立样本均值检验 (σ 未知但相等，小样本)

`例`  比较两种教学方法的效果。随机将 20 名学生分为两组，每组 10 人。A 组采用方法一，B 组采用方法二。学期末考试成绩如下：A 组：78, 82, 65, 70, 90, 85, 75, 80, 88, 72；B 组：85, 92, 78, 88, 95, 80, 85, 90, 82, 87。假设两组学生成绩均服从正态分布且方差相等。试在 α=0.05 的显著性水平下，检验两种教学方法的平均成绩是否有显著差异？(双侧检验)

**解答：**

1.  **建立假设：**
    *   H₀: μ₁ = μ₂ (两种方法平均成绩无显著差异)
    *   H₁: μ₁ ≠ μ₂ (两种方法平均成绩有显著差异) (双侧检验)

2.  **选择检验统计量：** 两独立样本，σ₁, σ₂ 未知但假设相等，小样本 (n₁=n₂=10)，使用 **合并方差 t 检验**。
    *    t = (x̄₁ - x̄₂) / [S_p * √(1/n₁ + 1/n₂)] 
    *   其中合并方差  S_p² = [(n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²] / (n₁ + n₂ - 2) 
    *   自由度 df = n₁ + n₂ - 2 = 18

3.  **计算描述统计量：**
    *   **A 组 (n₁=10):** x̄₁ = (78+82+65+70+90+85+75+80+88+72)/10 = 78.5
        *   计算 s₁²: 先求平方和 Σ(x - x̄₁)² 或用公式 Σx² - (Σx)²/n₁
        *   Σx₁ = 785, Σx₁² = 78²+82²+65²+70²+90²+85²+75²+80²+88²+72² = 62134
        *   s₁² = [Σx₁² - (Σx₁)²/n₁] / (n₁ - 1) = [62134 - (785)²/10] / 9 = [62134 - 61622.5] / 9 = 511.5 / 9 ≈ 56.833
    *   **B 组 (n₂=10):** x̄₂ = (85+92+78+88+95+80+85+90+82+87)/10 = 86.2
        *   Σx₂ = 862, Σx₂² = 85²+92²+78²+88²+95²+80²+85²+90²+82²+87² = 74842
        *   s₂² = [Σx₂² - (Σx₂)²/n₂] / (n₂ - 1) = [74842 - (862)²/10] / 9 = [74842 - 74304.4] / 9 = 537.6 / 9 ≈ 59.733

4.  **计算合并方差 S_p² 和 S_p：**
    *    S_p² = [(10-1)*56.833 + (10-1)*59.733] / (10+10-2) = [9*56.833 + 9*59.733] / 18 = [511.497 + 537.597] / 18 = 1049.094 / 18 ≈ 58.283 
    *    S_p = √58.283 ≈ 7.635

5.  **计算检验统计量 t 值：**
    *    t = (78.5 - 86.2) / [7.635 * √(1/10 + 1/10)] = (-7.7) / [7.635 * √0.2] = (-7.7) / [7.635 * 0.4472] ≈ (-7.7) / 3.414 ≈ -2.255

6.  **确定拒绝域：** α=0.05，df=18，双侧检验，查 t 分布表得临界值 t_{α/2}(18) = t_{0.025}(18) = ±2.101。
    *   拒绝域：t < -2.101 或 t > 2.101

7.  **做出决策：** 计算得到的 t ≈ -2.255，绝对值 |t| = 2.255 > 2.101，落在拒绝域内。
    *   **结论：** 在显著性水平 0.05 下，**拒绝原假设 H₀**。即认为两种教学方法的平均成绩有显著差异。

##  两独立样本方差比检验 (F 检验)

`例` 比较两台机床加工零件的尺寸精度（用方差衡量）。从两台机床生产的产品中分别随机抽取 11 个和 16 个零件，测得样本方差分别为 s₁² = 0.00045 mm⁴ (机床 A) 和 s₂² = 0.00031 mm⁴ (机床 B)。假设两机床加工的零件尺寸均服从正态分布。试在 α=0.05 的显著性水平下，检验两台机床加工精度的方差是否有显著差异？(双侧检验)

**解答：**

1.  **建立假设：**
    *   H₀: σ₁² = σ₂² (两台机床加工精度方差无显著差异)
    *   H₁: σ₁² ≠ σ₂² (两台机床加工精度方差有显著差异) (双侧检验)

2.  **选择检验统计量：** 检验两个独立正态总体的方差比，使用 **F 检验**。
    *    F = s₁² / s₂²  (通常将较大的样本方差作为分子，使 F ≥ 1，便于查表)
    *   这里 s₁² = 0.00045 > s₂² = 0.00031，所以 F = s₁² / s₂²
    *   自由度 df₁ = n₁ - 1 = 11 - 1 = 10 (分子自由度)，df₂ = n₂ - 1 = 16 - 1 = 15 (分母自由度)

3.  **计算检验统计量值：**
    *    F = 0.00045 / 0.00031 ≈ 1.4516

4.  **确定拒绝域：** α=0.05，双侧检验，需要查 F 分布的上侧分位数。
    *   临界值 F_{α/2}(df₁, df₂) = F_{0.025}(10, 15) 和 F_{1-α/2}(df₁, df₂) = F_{0.975}(10, 15) = 1 / F_{0.025}(15, 10)
    *   查 F 分布表 (或使用软件)：
        *   F_{0.025}(10, 15) ≈ 3.06
        *   F_{0.025}(15, 10) ≈ 3.52，所以 F_{0.975}(10, 15) = 1 / 3.52 ≈ 0.284
    *   拒绝域：F > F_{0.025}(10, 15) ≈ 3.06 或 F < F_{0.975}(10, 15) ≈ 0.284

5.  **做出决策：** 计算得到的 F ≈ 1.4516，落在接受域 (0.284, 3.06) 内。
    *   **结论：** 在显著性水平 0.05 下，**没有足够证据**拒绝原假设 H₀。即认为两台机床加工精度的方差无显著差异。

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