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勒贝格 Lebesgue
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更新:
2023-10-08 19:40
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勒贝格 Lebesgue
勒贝格,法国数学家,最有名的贡献是1902年提出的勒贝格积分。 {width=200px} ## 勒贝格积分 **例子** 有理数的指示函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbb{Q} \\ 0, x \notin \mathbb{Q}\end{array}\right.$ 是一个无处连续的函数。 - 在区间 $[0,1]$ 之间 $f(x)$ 没有黎曼积分,因为在实数中有理数和无理数都是桶密的,因此不管怎样把 $[0,1]$ 分成子区间,每一个子区间里面总是至 少会有一个有理数和一个无理数, 因此其达布积分的上限为 1 ,而下限为 0 。 - 在区间 $[0,1]$ 内 $1_{\mathbb{Q}}$ 有勒贝格积分。事实上它等于有理数的指示函数,因为 $\mathbb{Q}$ 是可数集,因此 $\int_{[0,1]} f(x) d \mu=\mu(\mathbb{Q} \cap[0,1])=0$ **直观解释** 要直观解释黎曼积分和勒贝格积分的区别,可以假设我们要计算一座山在海平面以上的体积。 下图:黎曼积分(蓝色)和勒贝格积分(红色) 方程
高斯
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