最后更新: 2023-10-08 19:40 查看: 267 次纠错评论(0) 课件开VIP

勒贝格 Lebesgue

勒贝格,法国数学家，最有名的贡献是1902年提出的勒贝格积分。
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## 勒贝格积分

**例子**
有理数的指示函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbb{Q} \\ 0, x \notin \mathbb{Q}\end{array}\right.$ 是一个无处连续的函数。

- 在区间 $[0,1]$ 之间 $f(x)$ 没有黎曼积分，因为在实数中有理数和无理数都是桶密的，因此不管怎样把 $[0,1]$ 分成子区间，每一个子区间里面总是至 少会有一个有理数和一个无理数, 因此其达布积分的上限为 1 ，而下限为 0 。
- 在区间 $[0,1]$ 内 $1_{\mathbb{Q}}$ 有勒贝格积分。事实上它等于有理数的指示函数，因为 $\mathbb{Q}$ 是可数集，因此 $\int_{[0,1]} f(x) d \mu=\mu(\mathbb{Q} \cap[0,1])=0$

**直观解释**
要直观解释黎曼积分和勒贝格积分的区别，可以假设我们要计算一座山在海平面以上的体积。

下图：黎曼积分（蓝色）和勒贝格积分（红色）
![图片](/uploads/2023-10/fa053d.svg){width=300px}

黎曼积分是相当于把山分为每块都是一平方米大的方块，测量每个方块正中的山的高度。每个方块的体 积约为 $1 \times 1 x$ 高度，因此山的总体积为所有高度的和。
勒贝格积分则是为山画一张等高线图，每根等高线之间的高度差为一米。每根等高线内含有的岩石土壤
佛兰德 (Folland) ${ }^{[1]}$ 描述黎曼积分跟勒贝格积分的不同，以非负函数
$f:[a, b] \mapsto[0, \infty], a . b \in \mathbb{R}$ 这例子来讲，黎曼积分是分割 $x$-轴上的定义域区间 $[a, b]$ 为更小的子 区间，并计算黎曼和，当子区间越来越小时黎曼和的极限就是黎曼积分; 而勒贝格积分则是将 $f$ 在 $y$ 轴上的到达域分割成不相交的区间 $\left\{I_j\right\}_{j=1}^n$ ，并用定义域中的子集合 $\left\{f^{-1}\left(I_j\right)=E_j\right\}$ 来定义趋近 $f$ 的简单函数

$$
s=\sum_{j=1}^n \inf _{x \in E_j} f(x) \cdot 1_{E_j}, \quad s:[a, b] \mapsto \mathbb{R}_{\geq 0}, 0 \leq s \leq f, s \text { 为简单函数， }
$$

而这简单函数 $s$ 的积分为: $\sum_{j=1} \inf _{x \in E_j} f(x) \cdot \mu\left(E_j\right)$ ，当把到达域的分割越来越细时，这简单函数积分的极限就是勒贝格积分。更简化讲的话就 是: 黎曼积分是分割定义域来计算积分; 勒贝格积分则是用分割到达域来计算积分。

## 勒贝格积分

**理论的意义**
勒贝格积分理论作为分析学中的一个有效工具的出现，尤其是他在三角级数中应用的高度成功，吸引了许多数学家，例如 P. 法图(Fatou)，F. 里斯(Riesz)和E. 菲舍尔(Fischer)等，来探讨有关的问题，使得这一领域开始迅速发展. 其中特别是里斯关 于Lp空间的工作(注: 勒贝格可积的函数全体构成的距离空间是完备的)，使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中持久地 占有重要的位置。

**关于不连续函数的积分**
虽然勒贝格在最初阶段专注于他自己的积分理论，然而在激励抽象测度和积分论研究的开展上，他的工作仍是先导性的。 1910年，勒贝格发表题为“关于不连续函数的积分”(Sur l'intégrationdes fonctions discontinues)的重要专题报告。在这里他不仅把 积分、微分理论推广于 $n$ 维空间，而且引入了可数可加集合函数的概念(定义于勒贝格可测集类上)，指出这些函数是定义在集合类 上的有界变差函数。正是因为对于有界变差与可加性概念之间联系的考察，使得J. 拉东(Radon)作出了更广的积分定义，其中把 T. -J. 斯蒂尔吉斯(Stieltjes)积分和勒贝格积分作为它的特殊情形。他还在1913年的文章中指出，勒贝格的思想在更一般的背景 上也是有效的。

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