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万有引力定律★★★★★

## 万有引力定律
开普勒定律发现之后, 人们开始更深人地思考: 是什么原因使行星绕太阳运动? 历史上科学家们的探索之路充满艰辛。伽利略、开普勒及笛卡儿都提出过自己的解释。牛顿时代的科学家, 如胡克和哈雷等对此作出了重要的贡献。

胡克等人认为, 行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力, 甚至证明了如果行星的轨道是圆形的, 它所受引力的大小跟行星到太阳距离的二次方成反比。但是由于关于运动和力的清晰概念是由牛顿建立的, 当时没有这些概念, 因此他们无法深人研究。

![图片](/uploads/2026-02/92c0db.jpg)

牛顿在前人对惯性研究的基础上, 开始思考 “物体怎样才会不沿直线运动” 这一问题。他的回答是：以任何方式改变速度 (包括改变速度的方向) 都需要力。这就是说, 使行星沿圆或椭圆运动, 需要指向圆心或椭圆焦点的力, 这个力应该就是太阳对它的引力。于是, 牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了。

下面我们根据牛顿运动定律及开普勒行星运动定律来讨论太阳与行星间的引力。

## 行星与太阳间的引力

行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动。行星做匀速圆周运动时, 受到一个指向圆心 (太阳) 的引力, 正是这个引力提供了向心力, 由此可推知太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线 (图 7.2-1)。
 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240109101a1fa.png)
设行星的质量为 $m$, 速度为 $v$, 行星与太阳间的距离为 $r$, 则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为

$$
F=m \frac{v^2}{r}
$$

天文观测可以测得行星公转的周期 $T$, 并据此可求出行星的速度

$$
v=\frac{2 \pi r}{T}
$$

把这个结果代人向心力的表达式, 整理后得到

$$
F=\frac{4 \pi^2 m r}{T^2}
$$

通过上节的学习我们知道周期 $T$ 和半径 $r$ 有一定的关系, 把开普勒第三定律 $\frac{r^3}{T^2}=k$ 变形为 $T^2=\frac{r^3}{k}$, 代人上面的关系式得到

$$
F=4 \pi^2 k \frac{m}{r^2}
$$

上式等号右边除了 $m 、 r$ 以外, 其余都是常量, 对任何行星来说都是相同的，因而可以说太阳对行星的引力 $F$ 与行星的质量 $m$ 成正比, 与 $r^2$ 成反比, 即 $F \propto \frac{m}{r^2}$ 。

我们知道, 力的作用是相互的。太阳吸引行星, 行星也同样吸引太阳, 也就是说, 在引力的存在与性质上, 行星和太阳的地位完全相当, 因此, 行星与太阳的引力也应与

$$
F=G \frac{m_{\text {太 }} m}{r^2}
$$

式中量 $G$ 与太阳、行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。

## 月一地检验

设想从山顶水平抛出一块石头（如图３-２-３所示）．由于重力的作用，石头会沿着弯曲的路径落到地上，并且石头的抛出速度越大，石头飞行的距离越远．由此推想，当石头抛出的速度足够大时，它将绕地球做圆周运动而不再落向地面．

![图片](/uploads/2026-02/5c5997.jpg){width=300px}

假设山（即石头抛出点）越来越高，甚至达到月球轨道的高度，此时石头仍然受到重力的作用．把石头以足够大的速度抛出，它将会像月球那样围绕地球运动．如果月球绕地球运动的引力与重力是同一性质的力，都与距离的平方成反比，那么，由于月球轨道半径约为地球半径的60倍，所以月球轨道附近的物体受到的引力只有它在地面附近受到引力的1/3600,则在相同的时间内，月球轨道附近自由落体的运动位移是地面附近自由落体的运动位移的1/3600． 根据月球的运行周期、轨道半径，可以算出在较短的时间内月球偏离原速度切线方向的垂直位移ｙ（如图３－２－４所示），这个位移与在相同时间内月球轨道附近自由落体的运动位移相吻合．这表明，使月球绕地球运动的引力与重力是同一性质的力．

![图片](/uploads/2026-02/3fb11c.jpg){width=300px}
 
 
 
**具体推导** 假设地球与月球间的作用力与太阳与行星间的作用力是同一种力, 它们的表达式也应该满足 $F=G \frac{m_{\text {月 }} m_{\text {地 }}}{r^2}$ 。根据牛顿第二定律, 月球绕地球做圆周运动的向心加速度月球中心的距离)。

进一步, 假设地球对苹果的吸引力也是同一种力, 同理可知, 苹果的自由落体加速度 $a_{\text {苹 }}=\frac{F}{m_{\text {苹 }}}=G \frac{m_{\text {地 }} \text { ( 式中 }}{R^2}$

由以上两式可得 $\frac{a_{\text {月 }}}{a_{\text {苹 }}}=\frac{R^2}{r^2}$ 。由于月球与地球中心的距离 $r$ 约为地球半径 $R$ 的 60 倍, 所以 $\frac{a_{\text {月 }}}{a_{\text {苹 }}}=\frac{1}{60^2}$ 。

## 万有引力定律

我们的思想还可以更解放。既然太阳与行星之间、地球与月球之间, 以及地球与地面物体之间具有 “与两个物体的质量成正比、与它们之间距离的二次方成反比” 的吸引力, 是否任意两个物体之间都有这样的力呢? 很可能有,只是由于身边物体的质量比天体的质量小得多, 不易觉察罢了。于是我们大胆地把以上结论推广到宇宙中的一切物体之间 :

**万有引力定律** 自然界中任何两个物体都相互吸引, 引力的方向在它们的连线上, 引力的大小与物体的质量 $m_1$ 和 $m_2$ 的乘积成正比、与它们之间距离 $r$ 的二次方成反比, 即

$$
\boxed{
F=G \frac{m_1 m_2}{r^2} ...(万有引力公式)
}
$$

式中，质量的单位用千克 $(\mathrm{kg})$, 距离的单位用米 $(\mathrm{m})$, 力的单位用牛 $(\mathrm{N})$,$G$ 是比例系数, 叫作**引力常量** , 适用于任何两个物体。

目前推荐的标准值 $G=6.67259 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^2 / \mathrm{kg}^2$, 通常取 $G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^2 / \mathrm{kg}^2$ 。

尽管以上推广是十分自然的, 但仍要接受事实的直接或间接的检验。本章后面的讨论表明, 由此得出的结论与事实相符, 于是, 它成为科学史上最伟大的定律之一一万有引力定律 (law of universal gravitation)。它于 1687 年发表在牛顿的传世之作《自然哲学的数学原理》中。

万有引力定律明确地向人们宣告, 天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则 ; 它向人们揭示, 复杂运动的后面可能隐藏着简洁的科学规律, 正是这种对简洁性的追求启迪科学家不断探索物理理论的统一。

### 引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系, 但却无法算出两个天体之间万有引力的大小, 因为他不知道引力常量 $G$ 的值。

一百多年以后, 英国物理学家卡文迪什在实验室里通过测量几个铅球之间的万有引力, 比较准确地得出了 $G$ 的数值。  
引力常量是自然界中少数几个最重要的物理常量之一。卡文迪什在对一些物体间的引力进行测量并算出引力常量 $G$ 以后, 又测量了多种物体间的引力, 所得结果与利用引力常量 $G$ 按万有引力定律计算所得的结果相同。引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。

## 阅读：卡文迪许的扭秤实验

卡文迪许,英国人，一生做了大量的电学、化学研究工作，参与实验研究持续50年之久
 ![图片](/uploads/2026-02/c4a8a6.jpg){width=200px}
 卡文迪许
 
**卡文迪许的扭秤实验** 在一长木棍的两端各装上一个小铅球，像一只哑铃，再用一根石英丝把这只“哑铃”横吊起来。实验时，只要将两只大铅球分别接近木棍两端的小铅球，由于“万有引力”的作用，“哑铃”一定会发生摆动，石英丝也将会有所扭动。他想，只要测出石英丝扭动多少，就可以知道大小铅球之间的引力大小，进而算出地球的重量。

![图片](/uploads/2026-02/de0060.jpg)
 
 可是，卡文迪许反复实验许多次，都以失败而告终——铅球之间的引力太微弱了。现今试验知道：两个1千克的铅球在相距10厘米时，他们之间的相互力只有十亿分之一千克！这么微小的引力所促成的石英丝的变化，单靠肉眼是无法测量出来的。
 
 ![图片](/uploads/2026-02/e9720e.jpg)
 
 卡文迪许解决问题的思路是，将不易观察的微小变化量，转化为容易观察的显著变化量，再根据显著变化量与微小量的关系算出微小的变化量 。

后来他动手改进实验装置。他把一面小镜固定在石英丝上，再用一束光线照射这一小镜。小镜将光线反射到一根刻度尺上。这样，只要石英丝有极微小的扭动，反射光就会在刻度上有明显的移动，从而提高实验的灵敏度。
  
  ![图片](/uploads/2026-02/735f2a.jpg)
  
  
  他测出了万有引力恒量的参数，万有引力常量约为$G=6.67259 \times 10^-11 (N·m^2 /kg^2)$通常取$G=6.67 \times 10^-11（N·m^2/kg^2)$，在此基础上卡文迪什计算地球的密度和质量。卡文迪什的计算结果是地球的质量为$6.0 \times 10^24kg$
 
 这个结果与现代仪器测量的结果相比只有不到1%的误差。以当时的实验条件来看，是相当了不起的成就。
 
 ![图片](/uploads/2026-02/89d563.jpg)

## 本节梳理
1..万有引力的 "两点理解" 和 "两个推论"
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力.
②地球上（两极除外）的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.
（2）星体内部万有引力的两个推论
①推论 1 ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即 $\Sigma F_{\text {引 }}=0$ 。
②推论 2 ：在匀质球体内部距离球心 $r$ 处的质点 $(m)$ 受到的万有引力等于球体内半径为 $r$ 的同心球体 $\left(M^{\prime}\right)$ 对它的万有引力，即 $F=G^{\frac{M^{\prime} m}{r^2}}$ 。

`例`火星的质量约为地球质量的 $\frac{1}{10}$ ，半径约为地球半径的 $\frac{1}{2}$ ，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为
A.0.2
B.0.4
C.2.0
D.2.5

解：万有引力表达式为 $F=G \frac{m_1 m_2}{r^2}$, 则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为 $\frac{F_{\text {火引| }}}{F_{\text {地引 }}}=\frac{M_{火 r^{\prime}}{ }^2}{M_{\text {地 }} r^2}=0.4$, 选项 B 正确。

`例`　有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点.先从M中挖去一半径为 R/2 的球体，如图所示，已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为
 ![图片](/uploads/2024-12/2ce94e.jpg)
 A. $G \frac{M m}{9 R^2}$
B. $G \frac{M m}{4 R^2}$
C. $G \frac{41 M m}{450 R^2}$
D. $G \frac{7 M m}{36 R^2}$

解：半径为 $R$ 且密度均匀的完整球体对距离球心 $O$ 为 $3 R$ 且质量为 $m$ 的质点的万有引力大小为 $F=G \frac{M m}{r^2}=G \frac{M m}{(3 R)^2}$,挖去部分的质量为 $M^{\prime}=\frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \times \frac{4}{3} \pi\left(\frac{R}{2}\right)^3=\frac{1}{8} M$,挖去部分对质点的万有引力大小为 $F_1=G \frac{M^{\prime} m}{r^{\prime 2}}=G \frac{\frac{1}{8} M m}{\left(2 R+\frac{1}{2} R\right)^2}=\frac{1}{50} G \frac{M m}{R^2}$,则剩余部分对质点的万有引力大小为 $F_2=F-F_1$, 解得 $F_2=G \frac{41 M m}{450 R^2}$,故选 C.

`例`某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M.科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍.已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为

A. $\sqrt{\frac{G M}{10 R^3}}$
B. $\sqrt{\frac{G M}{11 R^3}}$
C. $\sqrt{\frac{1.1 G M}{R^3}}$
D. $\sqrt{\frac{G M}{R^3}}$
解：设赤道处的重力加速度大小为 $g$, 物体在两极时万有引力大小等于重力大小，即 $G \frac{M m}{R^2}=1.1 mg$ ，

在赤道时万有引力大小等于重力和自转所需的向心力的合力大小, 即

$$
G \frac{M m}{R^2}=m g+m \omega^2 R,
$$

由以上两式解得该行星自转的角速度为 $\omega=\sqrt{\frac{G M}{11 R^3}}$, 故选 B.

`例`海王星有 13 颗已知的天然卫星．现认为＂海卫二＂绕海王星沿圆轨道匀速运转，已知海卫二的质量为 $2.0 \times 10^{19} \mathrm{~kg}$ ，轨道半径为 $5.5 \times 10^6 \mathrm{~km}$ ，运行的周期为 360 天，万有引力常量 $G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^2 / \mathrm{kg}^2$ ．则海王星的质量大约为

A． $1.0 \times 10^{17} \mathrm{~kg}$
B． $1.0 \times 10^{26} \mathrm{~kg}$
C． $2.0 \times 10^{11} \mathrm{~kg}$
D． $2.0 \times 10^{19} \mathrm{~kg}$
解析：选 B．万有引力提供向心力，因已知周期，且 $F_5=F_{\text {白 }}$ ，故可知 $\frac{G M m}{r^2}=m \frac{4 \pi^2}{T^2} r$ ，解得 $M=\frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$ ，代入数据得 $M=1.0 \times 10^{26} \mathrm{~kg}, \mathrm{~B}$ 正确．

`例`北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由 35 颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中地球轨道和倾斜轨道．其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的 1.5 倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为（ 
A．$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$
B．$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}}$
C．$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{3}{2}}$
D．$\left(\frac{3}{2}\right)^2$
解析：选 C．同步轨道半径大约是中轨道半径的 1.5 倍，根据开普勒第三定律 $\frac{r^3}{T^2}=k$ 得 $\frac{T_{\text {同 }}{ }^2}{T_{\text {中 }}{ }^2}=\left(\frac{3}{2}\right)^3$ ，所以同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为 $\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{3}{2}}$ ，故 C 正确．

`例`我国实施＂嫦娥三号＂的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间 $t$ ，卫星行程为 $s$ ，卫星与月球中心连线扫过的角度是 1 弧度，万有引力常量为 $G$ ，根据以上数据估算月球的质量是（ 
A．$\frac{t^2}{G s^3}$
B．$\frac{s^3}{G t^2}$
C．$\frac{G t^2}{s^3}$
D．$\frac{G s^3}{t^2}$
解析：选 B ．由 $s=r \theta, \theta=1$ 弧度，可得 $r=s$ ，由 $s=v t$ 可得 $v=\frac{s}{t}$, 由 $\frac{G M m}{r^2}=m \frac{v^2}{r}$ ，解得 $M=\frac{s^3}{G t^2}, \mathrm{~B}$ 正确．

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