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万有引力定律
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2024-01-09 09:19
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万有引力定律
开普勒定律发现之后, 人们开始更深人地思考: 是什么原因使行星绕太阳运动? 历史上科学家们的探索之路充满艰辛。 伽利略、开普勒及笛卡儿都提出过自己的解释。牛顿时代的科学家, 如胡克和哈雷等对此作出了重要的贡献。 胡克等人认为, 行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力, 甚至证明了如果行星的轨道是圆形的, 它所受引力的大小跟行星到太阳距离的二次方成反比。但是由于关于运动和力的清晰概念是由牛顿建立的, 当时没有这些概念, 因此他们无法深人研究。 牛顿在前人对惯性研究的基础上, 开始思考 “物体怎样才会不沿直线运动” 这一问题。他的回答是:以任何方式改变速度 (包括改变速度的方向) 都需要力。这就是说, 使行星沿圆或椭圆运动, 需要指向圆心或椭圆焦点的力, 这个力应该就是太阳对它的引力。于是, 牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了。 下面我们根据牛顿运动定律及开普勒行星运动定律来讨论太阳与行星间的引力。 ## 行星与太阳间的引力 行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动。行星做匀速圆周运动时, 受到一个指向圆心 (太阳) 的引力, 正是这个引力提供了向心力, 由此可推知太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线 (图 7.2-1)。 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240109101a1fa.png) 设行星的质量为 $m$, 速度为 $v$, 行星与太阳间的距离为 $r$, 则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为 $$ F=m \frac{v^2}{r} $$ 天文观测可以测得行星公转的周期 $T$, 并据此可求出行星的速度 $$ v=\frac{2 \pi r}{T} $$ 把这个结果代人向心力的表达式, 整理后得到 $$ F=\frac{4 \pi^2 m r}{T^2} $$ 通过上节的学习我们知道周期 $T$ 和半径 $r$ 有一定的关系, 把开普勒第三定律 $\frac{r^3}{T^2}=k$ 变形为 $T^2=\frac{r^3}{k}$, 代人上面的关系式得到 $$ F=4 \pi^2 k \frac{m}{r^2} $$ 上式等号右边除了 $m 、 r$ 以外, 其余都是常量, 对任何行星来说都是相同的,因而可以说太阳对行星的引力 $F$ 与行星的质量 $m$ 成正比, 与 $r^2$ 成反比, 即 $F \propto \frac{m}{r^2}$ 。 我们知道, 力的作用是相互的。太阳吸引行星, 行星也同样吸引太阳, 也就是说, 在引力的存在与性质上, 行星和太阳的地位完全相当, 因此, 行星与太阳的引力也应与 $$ F=G \frac{m_{\text {太 }} m}{r^2} $$ 式中量 $G$ 与太阳、行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。 ## 月一地检验 地球绕太阳运动, 月球绕地球运动, 它们之间的作用力是同一种性质的力吗? 这种力与地球对树上苹果的吸引力也是同一种性质的力吗 (图 7.2-2) ? 假设地球与月球间的作用力与太阳与行星间的作用力是同一种力, 它们的表达式也应该满足 $F=G \frac{m_{\text {月 }} m_{\text {地 }}}{r^2}$ 。根据牛顿第二定律, 月球绕地球做圆周运动的向心加速度月球中心的距离)。 进一步, 假设地球对苹果的吸引力也是同一种力, 同理可知, 苹果的自由落体加速度 $a_{\text {苹 }}=\frac{F}{m_{\text {苹 }}}=G \frac{m_{\text {地 }} \text { ( 式中 }}{R^2}$ 由以上两式可得 $\frac{a_{\text {月 }}}{a_{\text {苹 }}}=\frac{R^2}{r^2}$ 。由于月球与地球中心的距离 $r$ 约为地球半径 $R$ 的 60 倍, 所以 $\frac{a_{\text {月 }}}{a_{\text {苹 }}}=\frac{1}{60^2}$ 。 ## 万有引力定律 我们的思想还可以更解放。既然太阳与行星之间、地球与月球之间, 以及地球与地面物体之间具有 “与两个物体的质量成正比、与它们之间距离的二次方成反比” 的吸引力, 是否任意两个物体之间都有这样的力呢? 很可能有,只是由于身边物体的质量比天体的质量小得多, 不易觉察罢了。于是我们大胆地把以上结论推广到宇宙中的一切物体之间 : 自然界中任何两个物体都相互吸引, 引力的方向在它们的连线上, 引力的大小与物体的质量 $m_1$ 和 $m_2$ 的乘积成正比、与它们之间距离 $r$ 的二次方成反比, 即 $$ F=G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$ 式中质量的单位用千克 $(\mathrm{kg})$, 距离的单位用米 $(\mathrm{m})$, 力的单位用牛 $(\mathrm{N}) \circ G$ 是比例系数, 叫作引力常量 (gravitational constant), 适用于任何两个物体。 尽管以上推广是十分自然的, 但仍要接受事实的直接或间接的检验。本章后面的讨论表明, 由此得出的结论与事实相符, 于是, 它成为科学史上最伟大的定律之一一万有引力定律 (law of universal gravitation)。它于 1687 年发表在牛顿的传世之作《自然哲学的数学原理》中。 万有引力定律明确地向人们宣告, 天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则 ; 它向人们揭示, 复杂运动的后面可能隐藏着简洁的科学规律, 正是这种对简洁性的追求启迪科学家不断探索物理理论的统一。 引力常量 牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系, 但却无法算出两个天体之间万有引力的大小, 因为他不知道引力常量 $G$ 的值。 一百多年以后, 英国物理学家卡文迪什在实验室里通过测量几个铅球之间的万有引力, 比较准确地得出了 $G$ 的数值。目前推荐的标准值 $G=6.67259 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^2 / \mathrm{kg}^2$, 通常取 $G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^2 / \mathrm{kg}^2$ 。 引力常量是自然界中少数几个最重要的物理常量之一。卡文迪什在对一些物体间的引力进行测量并算出引力常量 $G$ 以后, 又测量了多种物体间的引力, 所得结果与利用引力常量 $G$ 按万有引力定律计算所得的结果相同。引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。
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