最后更新: 2025-04-29 15:22 查看: 376 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

万有引力定律

## 万有引力定律
开普勒定律发现之后, 人们开始更深人地思考: 是什么原因使行星绕太阳运动? 历史上科学家们的探索之路充满艰辛。

伽利略、开普勒及笛卡儿都提出过自己的解释。牛顿时代的科学家, 如胡克和哈雷等对此作出了重要的贡献。

胡克等人认为, 行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力, 甚至证明了如果行星的轨道是圆形的, 它所受引力的大小跟行星到太阳距离的二次方成反比。但是由于关于运动和力的清晰概念是由牛顿建立的, 当时没有这些概念, 因此他们无法深人研究。

牛顿在前人对惯性研究的基础上, 开始思考 “物体怎样才会不沿直线运动” 这一问题。他的回答是：以任何方式改变速度 (包括改变速度的方向) 都需要力。这就是说, 使行星沿圆或椭圆运动, 需要指向圆心或椭圆焦点的力, 这个力应该就是太阳对它的引力。于是, 牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了。

下面我们根据牛顿运动定律及开普勒行星运动定律来讨论太阳与行星间的引力。

## 行星与太阳间的引力

行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动。行星做匀速圆周运动时, 受到一个指向圆心 (太阳) 的引力, 正是这个引力提供了向心力, 由此可推知太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线 (图 7.2-1)。
 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240109101a1fa.png)
设行星的质量为 $m$, 速度为 $v$, 行星与太阳间的距离为 $r$, 则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为

$$
F=m \frac{v^2}{r}
$$

天文观测可以测得行星公转的周期 $T$, 并据此可求出行星的速度

$$
v=\frac{2 \pi r}{T}
$$

把这个结果代人向心力的表达式, 整理后得到

$$
F=\frac{4 \pi^2 m r}{T^2}
$$

通过上节的学习我们知道周期 $T$ 和半径 $r$ 有一定的关系, 把开普勒第三定律 $\frac{r^3}{T^2}=k$ 变形为 $T^2=\frac{r^3}{k}$, 代人上面的关系式得到

$$
F=4 \pi^2 k \frac{m}{r^2}
$$

上式等号右边除了 $m 、 r$ 以外, 其余都是常量, 对任何行星来说都是相同的，因而可以说太阳对行星的引力 $F$ 与行星的质量 $m$ 成正比, 与 $r^2$ 成反比, 即 $F \propto \frac{m}{r^2}$ 。

我们知道, 力的作用是相互的。太阳吸引行星, 行星也同样吸引太阳, 也就是说, 在引力的存在与性质上, 行星和太阳的地位完全相当, 因此, 行星与太阳的引力也应与

$$
F=G \frac{m_{\text {太 }} m}{r^2}
$$

式中量 $G$ 与太阳、行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。

## 月一地检验

地球绕太阳运动, 月球绕地球运动, 它们之间的作用力是同一种性质的力吗? 这种力与地球对树上苹果的吸引力也是同一种性质的力吗 (图 7.2-2) ?
假设地球与月球间的作用力与太阳与行星间的作用力是同一种力, 它们的表达式也应该满足 $F=G \frac{m_{\text {月 }} m_{\text {地 }}}{r^2}$ 。根据牛顿第二定律, 月球绕地球做圆周运动的向心加速度月球中心的距离)。

进一步, 假设地球对苹果的吸引力也是同一种力, 同理可知, 苹果的自由落体加速度 $a_{\text {苹 }}=\frac{F}{m_{\text {苹 }}}=G \frac{m_{\text {地 }} \text { ( 式中 }}{R^2}$

由以上两式可得 $\frac{a_{\text {月 }}}{a_{\text {苹 }}}=\frac{R^2}{r^2}$ 。由于月

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【数学分析】从开普勒三大定律到万有引力定律

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