最后更新: 2025-04-20 08:35 查看: 191 次纠错评论(0) 课件开VIP

强化训练：用函数法解决非常规图像问题

## 必备知识
对于非常规运动图像，可由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的斜率、截距、面积的含义。
1.函数法解决 $\frac{x}{t}-t$ 图像

由 $x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2$ 可得 $\frac{x}{t}=v_0+\frac{1}{2} a t$, 截距 $b$ 为 初速度 $v_0$, 图像的斜率 $k$ 为 $\frac{1}{2} a$ ，如图甲所示。

2.函数法解决 $v^2-x$ 图像

由 $v^2-v_0^2=2 a x$ 可知 $v^2=v_0{ }^2+2 a x$ ，截距 $b$
为 $v_0{ }^2$ ，图像斜率 $k$ 为 $2 a$ ，如图乙所示.

![图片](/uploads/2024-12/5ebb05.jpg)
 
 3.其他非常规图像
  ![图片](/uploads/2024-12/9c6122.jpg)
   ![图片](/uploads/2024-12/494abc.jpg)
    ![图片](/uploads/2024-12/8022af.jpg)
    
 `例`一物体从t＝0时刻开始沿直线运动，运动时间为t时，对应的位移为x，规定向右为正方向，其 －t图像如图所示，则下列说法正确的是
A.t＝0时，物体的初速度大小为3 m/s
B.物体的加速度大小为3 m/s2
C.0～2 s内物体的位移为6 m
D.3 s末物体位于出发点左侧9 m处
 ![图片](/uploads/2025-04/5ea1a7.jpg)
 
 解：根据匀变速直线运动的公式 $x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2$ ，变形得到 $\frac{x}{t}=\frac{1}{2} a t+v_0$ ，结合图像可知 $v_0=6 m / s , a=-6 m / s ^2$ ，故 A，B 错误；
根据公式 $x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2$ 可知，在 $0 \sim 2 s$ 内物体的位移为 $x_1=6 \times 2 m+$ $\frac{1}{2} \times(-6) \times 2^2 m=0$ ，故 C 错误；
根据公式 $x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2$ 可知，在 $0 \sim 3 s$ 内物体的位移为 $x_2=6 \times 3 m+\frac{1}{2} \times(-6) \times 3^2 m=-9 m$ ，即 3 s 末物体位于出发点左侧 9 m 处，故 D 正确．
    
    
 `例`一辆汽车以 $20 m / s$ 的速度在平直公路上行驶，某时刻司机发现前方施工需减速行驶，司机反应了 0.2 s 后开始刹车.如图所示为发现施工提示后的速度平方 $v^2$ 随位移 $x$ 的变化关系.从司机发现前方施工提示至汽车速度减小到 $5 m / s$ 过程中，汽车的位移为
A. 44 m
B. 41.5 m
C. 40 m
D. 37.5 m

解析：由题图可知，减速之前汽车的位移为 $x_1=4 m$ ，根据匀变速直线运动的速度位移公式可得 $v^2-v_0{ }^2=$ $2 a x$ ，由图像解得 $a=-5 m / s ^2$ ，当速度为 $5 m / s$ 时，汽车的位移为 $x_2=\frac{v^2-v_0^2}{2 a}=37.5 m$ ，故汽车的位移为 $x=x_1+x_2=41.5 m, A 、 C 、 D$ 错误，B正确。
  ![图片](/uploads/2024-12/5fb041.jpg)
  
  
 `例` “科技让生活更美丽”，自动驾驶汽车呈现出接近实用化的趋势.图甲为某型无人驾驶的智能汽车的测试照，为了增加乘员乘坐舒适性，程序设定汽车制动时汽车加速度大小随位移均匀变化.某次测试汽车“a－x”关系图线如图乙所示，汽车制动距离为12 m.则关于该次测试，下列说法中正确的是
  ![图片](/uploads/2025-04/ff81a0.jpg)
A.汽车做匀减速直线运动
B.汽车开始制动时的速度大小为12 m/s
C.汽车开始制动时的速度大小为 $6\sqrt{2} m/s$
D.此车制动时间为$\sqrt{2} s$

解：汽车制动过程，由题图乙可知其加速度 $a$ 随位移 $x$ 均匀增大，故汽车做加速度逐渐增大的减速运动，故A错误；
根据匀变速运动的速度位移公式 $v^2-v_0{ }^2=2 a x$ ，汽车做非匀变速运动，运用＂微元法＂，可知＂$a-x$＂图线与 $x$ 轴所围图形的＂面积＂表示 ＂速度平方变化量的一半＂可知汽车制动中 $0-v_0{ }^2=2 \times \frac{1}{2} \times(-6) \times$ $12\left(m^2 / s ^2\right)$ ，可得汽车制动时的速度大小为 $v_0=6 \sqrt{2} m / s$ ，故 $B$ 错误，
C正确；
刹车过程中最大加速度为 $6 m / s ^2$ ，如果一直以最大加速度刹车，所用的时间为 $t^{\prime}=\frac{v_0}{|a|}=\sqrt{2} s$ ，实际加速度是逐渐增大的，所以刹车制动时间一定大于 $\sqrt{2} s$ ，故 D 错误．

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