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第十三章：立体几何
两个平面平行的判定定理
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2025-02-08 15:57
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两个平面平行的判定定理
## 两个平面平行的判定定理和性质定理 **如果在一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面 平行** 已知: 如图 1.57, 平面 $\alpha$ 内有直线 $a 、 b$, 并且 $a \cap b=P, a \cap$ 平面 $\beta=\emptyset$, $b \cap$ 平面 $\beta=\emptyset$.  求证: $\alpha / / \beta$. 证明：假定 $\alpha \nVdash \beta$ ，不妨设 $\alpha \cap \beta=\ell \neq \emptyset$ $$ \begin{aligned} & \because \quad \alpha / / \beta, \quad b / / \beta \text { 且 } \ell \subset \alpha, \\ & \therefore \quad \ell / / a \text { 且 } \ell / / b \end{aligned} $$ $\therefore a / / b$, 这和题设 $a \cap b=P$ 矛盾, $\therefore \alpha \sharp \beta$ 是不可能的, $$ \therefore \quad \alpha / / \beta . $$ ### 推论 垂直于同一条直线的两个平面互相平行，如下图  ## 两个平行平面的性质定理 **如果两个平行平面和第三个平面同时相交，那么它们的交线平行。** 如图 1.59, 平面 $\alpha, \beta, \gamma$ 中, $\alpha \cap \beta=\emptyset, \alpha \cap \gamma=\ell_1, \beta \cap \gamma=\ell_2$. $\ell_1 / / \ell_2$.  ### 推论 1 如果一条直线与二平行平面之一相交, 那么它必与另一平面相交。 ### 推论 2 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面, 那么也垂直于另一个平面。 ### 定义 和两个平行平面同时垂直的直线叫做这两个平行平面的公垂线。 ### 推论 夹在两个平行平面间的公垂线段的长都相等。 ### 定义 夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离。 ## 平面平行的传递性 ### 定理1 经过平面外一点，存在唯一一个平面和已知平面平行。 ### 定理2 平行于同一平面的两个平面平行。
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