最后更新: 2025-03-09 09:11 查看: 71 次纠错评论(0) 课件开VIP

库银被盗，哪两个人作案？

## 库银被盗，哪两个人作案？

有一一仓库被盗，公安人员经侦察，怀疑甲，乙，丙和丁四人作案，又经细査，知道这四人中只有两人作案，在盗窃案发生的那段时间，可靠的线索有：
（1）甲，乙两人中有且只有一一个人去过仓库；
（2）乙和丁不会同时去仓库；
（3）丙若去仓库，丁必一同去；
（4）丁若没去仓库，则甲世没去．
试判断四人中哪两人去仓库作案？
此类问题，我们也可以用一种更规范的解法一一 化简范式去解决．

对逻辑式的化简标准，根据不同的需要，形式不是唯一的，但其中最基本的是化为最简的＂与－或＂式（即＂与＂式之 ＂或＂），因为其他的任何形式，都可由最简的＂与－或＂式等值变换而得到．最简的＂与－或＂式是指：
（1）项数最少；
（2）在项数最少的前提下，各项因子数最少。
在前面所遇到的化简中，都是按这个标准去做的。从理论上，这并不能彻底解决逻辑式化简问题，而从范式出发，是可以彻底解决逻辑式化简问题，并且比较规范。

设 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是 $n$ 个逻辑变量，$P$ 是一个有 $n$ 个因子的乘积项（与项），且 $P$ 中每个因子都取自不同的变量，或者是原变量，或者是变量的非，则称 $P$ 是 $n$ 个变量的一个最小项．在一个有 $n$ 个变量的＂与－或＂式 $F$ 中的每一个乘积项，都是这 $n$ 个变量的最小项，则称该＂与－或＂式 $F$ 为＂与－或＂范式。

利用公式 $A B+A \bar{B}=A$ ，可以将任一个＂与－或＂式化为 ＂与－或＂范式．如

$$
\begin{aligned}
F & =A B+\bar{A} C \\
& =A B(C+\bar{C})+\bar{A}(B+\bar{B}) C \\
& =A B C+A B \bar{C}+\bar{A} B C+\bar{A} \bar{B} C .
\end{aligned}
$$

我们知道＂与－或＂式不是唯一的，但可以证明＂与－或＂范式是唯一的．正因为这种规范性，在求解含有逻辑变量的等式 ——逻辑方程时，往往都化为＂与－或＂范式去求解．如求解逻辑方程

$$
(A+B)(B+\bar{C})=1,
$$

左端化为＂与－或＂范式

$$
\begin{aligned}
(A+B)(B+\bar{C}) & =B+A \bar{C} \\
& =(A+\bar{A}) B+A \bar{C}(B+\bar{B}) \\
& =A B+\bar{A} B+A B \bar{C}+A \bar{B} \bar{C} \\
& =A B(C+\bar{C})+\bar{A} B(C+\bar{C})+A B \bar{C}+A \bar{B} \bar{C} \\
& =A B C+A B \bar{C}+\bar{A} B C+\bar{A} B \bar{C}+A \bar{B} \bar{C},
\end{aligned}
$$

于是原方程化为

$$
A B C+A B \bar{C}+\bar{A} B C+\bar{A} B \bar{C}+A \bar{B} \bar{C}=1
$$

由＂或＂运算的意义，就有 $A B C=1$ 或 $A B \bar{C} \approx 1$ 或 $\bar{A} B C=1$ 或 $\bar{A} B \bar{C}=1$ 或 $A \bar{B} \bar{C}=1$ ，而要 $A B C=1$ ，由＂与＂运算意义，就必须 $A=1, B=1$ 和 $C=1$ ，于是得到方程的一个解 $A=B=C=$ 1，即 111．类似地由 $A B \bar{C}=1, \bar{A} B C=1, \bar{A} B \bar{C}=1, A \bar{B} \bar{C}=1$可得其余的四个解： $110,011,010,100$ ．于是原方程解集为 $\{111,110,011,010,100\}$.

而当方程右端为 0 时，如方程

$$
\bar{B} \bar{C}+A C=0
$$

两端取非得

$$
\overline{\bar{B} \bar{C}+A C}=\overline{0}
$$

化简为

$$
(B+C)(\bar{A}+\bar{C})=1
$$

再去求解。
而当方程两端都是逻辑式时，由等值运算，把右端化为 1 ，再去求解。如方程

$$
A \bar{B}=C
$$

化为

$$
(A \bar{B}+\bar{C})(\bar{A} \overline{\bar{B}}+C)=1,
$$

再去求解。
## 答案
对于＂哪两个人作案＂的问题，设 $A, B, C, D$ 分别表示甲，乙，丙，丁去仓库作案．依题意，就有
（1）$A \bar{B}+\bar{A} B=1$ ；
（2）$B D=0$ ，即 $\bar{B}+\bar{D}=1$ ；
（3）$C \rightarrow D=1$ ，即 $\bar{C}+D=1$ ；
（4） $\bar{D} \rightarrow \bar{A}=1$ ，即 $D+\bar{A}=1$ ．
于是可得逻辑方程

$$
(A \bar{B}+\bar{A} B)(\bar{B}+\bar{D})(\bar{C}+D)(D+\bar{A})=1
$$

左边化简为＂与－或＂式为

$$
A \bar{B} D+\bar{A} B C \bar{D}=1
$$

而左边化简为最简的＂与－或＂范式为

$$
A \bar{B} C D+A \bar{B} \bar{C} D+\bar{A} B \bar{C} \bar{D}=1
$$

从而有三个解：$A \bar{B} C D=1$ 或 $A \bar{B} \bar{C} D=1$ 或 $\bar{A} B \bar{C} \bar{D}=1$ ，如
用命题的真假符号＂1＂，＂0＂表示就是：1011，1001，0100．但由题意只有两人作案．显然解是 1001 ，即作案者为甲和丁。

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