最后更新: 2025-12-27 11:21 查看: 184 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

匀变速直线运动的核心公式★★★★★

## 匀变速直线运动的核心公式
匀变速运动核心有四个公式：
$$
\boxed{
 \left\{\begin{array}{l}   
&①a = \frac{v - v_0}{t} ...(加速度公式) \\
&② \bar{v} = \frac{v_0 + v}{2} ...(平均速度公式) \\
&③ s = \bar{v} \cdot t = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t ...(位移公式) \\
&④ v^2 = v_0^2 + 2 a s ...(不含时间的速度公式)
\end{array}\right.
}
$$

下面将使用纯数学方法来推导上面公式。

## 速度公式

加速度定义：
$$
a = \frac{v - v_0}{t}
$$
整理得：
$$
v = v_0 + a t ...(1)
$$
这就是速度与时间的关系式。

> 如果我们把$v$看出$y$，$v_0$看成$b$, $a$看成$k$,$t$看出$x$， (1)式就是 $y=kx+b$ 这是初中数学学过的典型的一次函数图像,对比如下

![图片](/uploads/2025-12/c2f80c.jpg){width=500px}

匀变速直线运动的核心是**加速度恒定**$(a=\text{常数}$）,这就像一次函数$y=kx+b$里，$k$ 是常数一样。

加速度的定义是“速度变化率”$(a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t}$），变形后直接得到速度。
 
 **核心逻辑**：速度随时间线性增加（或减少），斜率为加速度。 
 
例子：汽车以$2 \text{m/s}^2$加速，初速度$5 \text{m/s}$，$3\text{s}$ 后速度为$ 5 + 2 \times 3 = 11 \text{m/s}$，符合“每秒速度加2”的直观感受。

## 位移公式（面积法）

如果物体做匀速直线运动，它的速度 $v$ 不随时间 $t$ 变化，其 $v-t$ 图像是一条平行于时间轴的直线，如下图左图所示．在时间 $t$ 内的位移 $s=vt$ ，正好对应着 $v-t$ 图像中阴影矩形的面积．

![图片](/uploads/2025-12/89da02.jpg){width=500px}

如果物体做匀变速直线运动，他的位移仍然是速度直线和t轴围成的面积，只是此时的图像将是一个梯形，参考上图右图。

在梯形里，上底是$v_0$,下底是$v_0+at$， 高是$t$， 所以，梯形的面积为

$$
\boxed{
s = v_0 t + \frac12 a t^2 ...(2)
}
$$
 
这就是含有时间的匀变速位移公式，如果仔细看公式（2），他可以分解为 $v_0 t$ 和 $\frac12 a t^2$ 之和，前者是匀速（矩形）的面积，后者是加速（三角形）的面积，因此
 
> **匀变速运动可以看出匀速直线运动和加速直线运动两者的代数和**。
 
特别的，（2）式中，如果初速度$v_0=0$， 则公式变为

$$
\boxed{
s =   \frac12 a t^2 ...(3)
}
$$

（3）式是一个大量使用的公式，比如汽车从静止到加速运动就适用这个公式。更特别的是，

> **刹车运动，可以倒过来看成逆向的成汽车从静止到加速的运动。**

## 平均速度
平均速度的定义是$t$时间内，位移走了$s$，则
$$
\bar{v}=\frac{s}{t}
$$

将（2）带入上式有
$$
\boxed{
\bar{v}=v_0+ \frac{1}{2} at ...(4)
}
$$

上式又可以写为
$$
\bar{v}=\dfrac{2v_0+at}{2}=\dfrac{v_0+(v_0+at)}{2}=\dfrac{v_0+v_末}{2}
$$

由此得到
$$
\boxed{

\bar{v}=\dfrac{v_0+v_末}{2} ...(5)
}
$$

（5）式表明，对于匀加速运动，他的平均速度等于起始和结束两个速度的和除以2.

> **注意：公式（5）仅对匀加速直线运动有效，一般的运动没有这个公式**。

例子：物体从静止开始加速，$5\,\text{s}$后速度$10\,\text{m/s}$，平均速度为$\frac{0 + 10}{2} = 5\,\text{m/s}$，位移$5 \times 5 = 25\,\text{m}$，如果用位移公式算的一样$(0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 2 \times 5^2 = 25\,\text{m}$）。

## 不含时间的位移—速度公式
由 $v = v_0 + a t$ 得 $t = \frac{v - v_0}{a}$，代入 $s = v_0 t + \frac12 a t^2$：

化简 
$$
s = v_0 \cdot \frac{v - v_0}{a} + \frac12 a \cdot \left( \frac{v - v_0}{a} \right)^2
$$

即

$$
\boxed{
v^2 = v_0^2 + 2as ...(6)
}
$$

例子：汽车以$10\,\text{m/s}$刹车，加速度$-5\,\text{m/s}^2$，刹车距离为$v^2 - v_0^2 = 2as \Rightarrow 0 - 100 = 2 \times (-5)s \Rightarrow s = 10\,\text{m}$，直接算出刹车距离，不用算时间。

总之，这些公式都来源于 加速度定义 和 匀变速的平均速度特性，加上代数推导

##  记忆口诀：用“口诀+逻辑” 
把公式编成**顺口溜**或**关键词句**，结合逻辑关联，能快速唤醒记忆：  
- **速度-时间公式**：“末速等于初速加at”$(v = v_0 + at$）——强调“速度随时间线性变化”，“加”对应加速$(a>0$），“减”对应减速$(a<0$）。  
- **位移-时间公式**：“初速乘时间，加上二分之一at平方”$(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$）——前半部分是“匀速运动的位移”，后半部分是“加速度带来的额外位移”，符合“匀变速=匀速+加速”的逻辑。  
- **速度-位移公式**：“末速平方减初速平方，等于2a乘位移”$(v^2 - v_0^2 = 2as$）——强调“无时间关联”，适合“刹车、滑行”等场景（不用算时间）。  
- **平均速度公式**：“平均速度是初末的平均值”$(\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2}$）——记住“匀变速才适用”，非匀变速（如变加速）不能用。

##  用图像“可视化”记忆 
$v-t$图像是匀变速直线运动的“万能工具”，能直观展示公式的物理意义：  
- **斜率**：$v-t$图像的斜率等于加速度$(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$），斜率越大，加速越快；斜率为负，说明减速。  
- **面积**：$v-t$图像与时间轴围成的面积等于位移$(s = \text{面积}$），梯形面积对应位移公式，三角形面积对应刹车距离（末速度为0）。  
- **截距**：纵截距是初速度$(t=0$时的速度），横截距是停止时间$(v=0$时的时间）。

例子：$v-t$图像是一条从$v_0=5\,\text{m/s}$开始，斜率为$2\,\text{m/s}^2$的直线，$t=3\,\text{s}$时速度为$11\,\text{m/s}$（斜率），位移是梯形面积$(5 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2 \times 3^2 = 24\,\text{m}$），一目了然。

## 解题技巧：知三求二 
匀变速直线运动有**五个核心变量**：初速度$(v_0)$、末速度$(v)$、加速度$(a)$、时间$(t)$）、位移$(x)$，**任意四个变量确定，第五个就能求**，但每个公式对应“缺少一个变量”的场景：  
- 缺**a**：用平均

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