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常微分方程
第一篇 一阶微分方程
平衡点的分类
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更新:
2025-06-07 06:39
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平衡点的分类
1.6.4 平衡点的分类 对于自治方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ ,如果 $f(y)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续,则可以知道它的解当 $t$ 增加时要么(在有限或无限时间里)趋于 $+\infty$ 或 $-\infty$ ,要么渐近趋于平衡点.因此,平衡点在自治方程的研究中起着重要的作用. 当画相线时,首先要求出平衡点,然后根据两个平衡点间 $f(y)$ 的符号确定箭头的方向.因为两个平衡点之间 $f(y)$ 不变号,所以只要知道之间的一个点 $f(x)$ 的符号就可以确定相线在这个区间上的箭头方向.这样只要判断平衡点附近 $f(y)$ 。自符号就好了.例如,如果知道方程仅有两个平衡点 $y=-3$ 和 $y=5$ ,并且知道在平衡点 $y=-3$ 和 $y=5$ 附近相线的情况,也就知道了整个相线的情况
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