最后更新: 2026-01-05 19:42 查看: 102 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

有效性

> 评价点估计好不好有三个指标：[无偏性](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=573)是指估计量的期望和总体期望一样。 [有效性](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3063)是指在无偏性的情况下，估计量的方差应尽可能小，[相合性](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=575)是指当取样数量无限大时，估计量和真实值应无限接近

## 有效性
具有无偏性只是对＂好＂估计的基本要求，同一待估参数往往有很多无偏估计量，因此，必须给出另外的标准以便在众多的无偏估计量中＂优中选优＂。

> 若 $\hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量，$\hat{\theta}$ 的取值在真值的附近波动，我们自然希望 $\hat{\theta}$ 与 $\theta$ 之间的偏差越小越好，也就是说 $\hat{\theta}$ 的方差越小越有效，由此便有了有效性的概念。

**有效性**比较的是针对同一总体参数的**两个无偏估计量**。它衡量的是哪个估计量的抽样分布更集中、波动更小。

简单来说：一个更有效的估计量，其估计值更稳定，更不容易偏离真实参数值。

### 数学表达
设  $\hat{\theta}_1 $ 和  $\hat{\theta}_2 $ 都是参数  $\theta $ 的**无偏估计量**，即：
 
$$
E(\hat{\theta}_1) = \theta, \quad E(\hat{\theta}_2) = \theta

$$
它们的方差分别为  $D(\hat{\theta}_1) $ 和  $D(\hat{\theta}_2) $。

**如果满足：**
 $$
D(\hat{\theta}_1) < D(\hat{\theta}_2)
 $$
**则称  $\hat{\theta}_1 $ 比  $\hat{\theta}_2 $ 更有效。**

### 关键解读
1.  **前提是无偏**：有效性比较的前提是，两个估计量在“平均水平”上都是正确的（无偏）。如果估计量本身就有系统性偏差，再稳定（方差小）也没用，因为它可能稳定地错。
2.  **方差越小越有效**：方差衡量的是估计量围绕其均值（即真实参数θ）的波动范围。方差越小，波动越小，意味着用这个估计量得到的估计值，在不同样本下更接近真实值，因此“质量”更高。
3.  **相对概念**：有效性通常是两个或多个估计量之间的比较概念。

## 理解：有效性

想象一下，你要**猜一个靶子的中心点**（中心点代表真实的参数值，比如全国人民的平均身高）。

你有两把不同的枪（代表两种不同的估计方法），每把枪都可以打很多发子弹（每发子弹代表用你收集到的一部分数据算出来的一个估计值）。

### 第一步：先看“准不准”（无偏性）
*   你打了100发子弹，最后发现，**A枪**的弹孔平均位置，正好在靶心。
*   **B枪**的弹孔平均位置，也正好在靶心。
*   这说明，从“长期平均”来看，两把枪**都准**，没有系统性的偏移。这就叫 **“无偏”**。
*   **有效性比较的前提是两把枪都准！**

### 第二步：再看“稳不稳”（有效性）
虽然两把枪的平均落点都在靶心，但你仔细看弹孔的分布：
*   **A枪**的100个弹孔，全都密密麻麻地挤在靶心

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