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复变函数与积分变换
第五篇 留数及其应用
共轭映射
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2025-06-24 07:00
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共轭映射
在本章引言中我们强调了积分对任意连续复映射都有意义,不论它是否是解析 的. 然而, 相对不甚规矩的非解析函数之积分,其行为就不如它的解析对手那样可以预测了.特别是,柯西定理在此没有裁判权,我们也就没有理由期望积分对路径的无关性,或者用与此等价的说法,不能期望有闭路上积分为零的性质。作为这一类性态的例子,我们马上就来证明,非解析的共轭映射 在环路上的积分将给出此环路所围区域的面积.暂时先承认这个结果,我们用 和 两个例子来详细说明非解析情况与解析情况的区别。 在解析情况下,只要 这个特殊的点没有被包含在环路内,环路上的积分必为零.甚至在 的积分不为零时,它可能取的值仍以 为单位而干净利落地量子化:环路每包围这个特殊的点 一次,积分值就增加一个单位.我们后面会看到,这种性态是很典型的,虽然一个比较普遍的映射可以有多个特殊的点 (在那里解析性遭到破环)散布在平面上,积分仍然对于环路的准确形状不敏感。只要没有这种特殊的点被围在环路内,积分就会为零.然而,若有几个这样的点被围起来了,则各自对积分做出不一定相同的贡献(一般不是 ),每包围一次就得到一个单位的贡献,积分的值正是这些离散的贡献之和。 非解析的例子则完全不同.环路所围区域的面积几乎从不为零( 的积分也就如此)。进而言之,积分之值不再是由稳定的拓扑性质所决定的,其对环路的详尽的几何形状是敏感的.最后,积分之值也没有优雅地量子化,而随着环路形状的改变会连续地变化. ## 用面积来解释 现在我们来验证一下 $\bar{z}$ 的积分的面积解释.回忆一下,我们在第1章就讲过, $\operatorname{Im}(a \bar{b})$ 就是由 $a$ 和 $b$ 所张成的三角形面积的 2 倍.当 $z
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