最后更新: 2025-06-24 07:00 查看: 59 次纠错评论(0) 课件开VIP

共轭映射

在本章引言中我们强调了积分对任意连续复映射都有意义,不论它是否是解析
的. 然而, 相对不甚规矩的非解析函数之积分,其行为就不如它的解析对手那样可以预测了．特别是，柯西定理在此没有裁判权，我们也就没有理由期望积分对路径的无关性，或者用与此等价的说法，不能期望有闭路上积分为零的性质。作为这一类性态的例子，我们马上就来证明，非解析的共轭映射 
 在环路上的积分将给出此环路所围区域的面积．暂时先承认这个结果，我们用 
 和 
 两个例子来详细说明非解析情况与解析情况的区别。
在解析情况下，只要 
 这个特殊的点没有被包含在环路内，环路上的积分必为零．甚至在 
 的积分不为零时，它可能取的值仍以 
 为单位而干净利落地量子化：环路每包围这个特殊的点 
 一次，积分值就增加一个单位．我们后面会看到，这种性态是很典型的，虽然一个比较普遍的映射可以有多个特殊的点 （在那里解析性遭到破环）散布在平面上，积分仍然对于环路的准确形状不敏感。只要没有这种特殊的点被围在环路内，积分就会为零．然而，若有几个这样的点被围起来了，则各自对积分做出不一定相同的贡献（一般不是 
 ），每包围一次就得到一个单位的贡献，积分的值正是这些离散的贡献之和。
非解析的例子则完全不同．环路所围区域的面积几乎从不为零（ 
 的积分也就如此）。进而言之，积分之值不再是由稳定的拓扑性质所决定的，其对环路的详尽的几何形状是敏感的．最后，积分之值也没有优雅地量子化，而随着环路形状的改变会连续地变化．
 
 ##  用面积来解释
现在我们来验证一下 $\bar{z}$ 的积分的面积解释．回忆一下，我们在第1章就讲过， $\operatorname{Im}(a \bar{b})$ 就是由 $a$ 和 $b$ 所张成的三角形面积的 2 倍．当 $z$ 绕图 8－15a 中的环路 $L$ 运行时，设想它所扫过的面积可以像图 8－15 上那样分解为三角形的元素．于是，因为 $z \bar{z}=|z|^2$ 为实数，我们有

$$
2 \text { (面积元素) }=\operatorname{Im}[(z+\Delta) \bar{z}]=\operatorname{Im}(\bar{z} \Delta) \text {. }
$$
 ![图片](/uploads/2025-06/030486.jpg)

图 8－15
把这些面积元素加起来，我们就得到相应于 $\bar{z}$ 的积分的黎曼和的虚部．这样我们就得出结论

$$
\operatorname{Im} \oint_L \bar{z} d z=2(L \text { 所围的面积 }) .
$$

如果注意到 $\bar{z}$ 和（ $1 / z$ ）均为同方向的点（向量），这个结果还可以进一步简化。由此可知，可以做一个类似于图 8－12 的图，唯一的区别在于，在图 8－12 中为了得到 $\widetilde{\Delta}$ 我们要除以 $r$ ，而现在要乘以 $r$ 。所以由图 8－12 而来的推理仍然有效，由此导出 $\bar{z}$ 沿闭环路的积分为纯虚数．这样

$$
\oint_L \bar{z} d z=2 i(L \text { 所围的面积 }) \text {. }
$$

现在我们要问，如果原点在环路之外，该公式将如何改变？图8－15b表明有一个让人高兴的答案：＂什么也没有改变！＂要点在于积分把 $\Delta$ 对于原点所张的有符号的面积都加了起来。在远处，$\Delta$ 是让 $z$ 沿逆时针方向走，所以给出正的面积元素。但是在近处 $z$ 沿顺时针方向运动，给出负的面积元素．当它们相加时，位于回路之外的面积抵消，所以用不着考虑。余下的恰好是被围着的面积。

作为一个简单的例子，考虑一个以 $a$ 为中心、以 $r$ 为半径的圆周 $C$ ，它的方程为 $r^2=|z-a|^2=(z-a)(\bar{z}-\bar{a})$ 。由它解出 $\bar{z}$ 再利用（8．7）即可得出

$$
\begin{aligned}
\oint_C \bar{z} d z & =\bar{a} \oint_C d z+r^2 \oint_C \frac{1}{z-a} d z=0+r^2 2 \pi i \\
& =2 i(C \text { 所围的面积 }) .
\end{aligned}
$$

由我们迄今所做，你会以为 $\bar{z}$ 在非平凡（即没有缩为一点）的环路上的积分不会等于零．其实只要看一下图 8－16a 上8 字形的环路就知道这种想法是错误的．这个环路可以看作两个独立的环路之并，上一个环路是依正向绕行的，所以给出通常的面积 $A_1$ ；下一个环路依反向绕行，所以给出 $\left(-A_2\right)$ ，即通常面积的负值．所以积分值为 $2 i \left(A_1-A_2\right)$ ，如果环路是对称的，则积分为零．

![图片](/uploads/2025-06/38850b.jpg)
 
 8．5．3 一般环路
为了把这个例子告一段落，我们想解释一下环绕数的概念怎样用于计算更复杂环路上的积分．如图 8－16b（注意，此图就是第7章的图7－2），那样一些典型的环路把平面分成若干个集合 $D_j$ ，而在第 7 章中我们定义环路的＂内＂就是那些相应的环绕数 $\nu_j \neq 0$ 的 $D_j$ 组成的，而其余的 $D_j$ 则组成＂外＂，我们现在陈述一般的结果，请细想一下是否为真：

$$
\oint_L \bar{z} d z=2 i \sum \nu_j A_j \quad \text { (对内部的 } D_j \text { 求和) },
$$

其中 $A_j$ 表示 $D_j$ 的面积．例如，图 8－16b 的环路 $L$ 给出 $\oint_L \bar{z} d z=2 i \left[2 A_1+A_3\right]$ ．本章稍后再来解释这个一般公式（8．9）．

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