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傅里叶背景7：冲激函数δ背景

## 冲激函数$\delta(x)$的起源
在 19 世纪末，工程师赫维赛德（Heaviside）在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算（又称作运算微积）．这套演算要求对如下的函数（称为 Heaviside 函数，MatLab软件里提供有Heaviside() 函数）
$$
Y(x)= \begin{cases}0, & \text { 当 } x<0, \\ 1, & \text { 当 } x \geqslant 0\end{cases}
$$
求微商，他把这个微商记作 $\delta(x)$ 。

![图片](/uploads/2025-07/78619b.jpg){width=200px}

**按经典数学分析的理论，$Y(x)$ 在 $x=0$ 并不可微，因此这个 $\delta(x)$ 根本不能称其为函数，但它却对简化运算很有效，并且有很直观的物理意义** 例如它可以表示点电荷的电荷密度，脉冲电流的电流强度等，因而受到欢迎。

20 世纪 30 年代，英国物理学家狄拉克（Dirac），从物理理论出发，直接引进了$\delta$ 函数，并把他定义为

$$
\delta(x)= \begin{cases}0, & \text { 当 } x \neq 0, \\ +\infty, & \text { 当 } x=0\end{cases}
$$

并且

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) d x=1
$$

他同时还引进了许多涉及 $\delta(x)$ 的运算，如：

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x-y) f(y) d y=f(x)
$$

由此可见，
$$
\int_{-\infty}^x \delta(y) d y=Y(x) \quad(-\infty<x<+\infty)
$$

所以这个 $\delta(x)$ 也就是 Heaviside 函数的微商．Dirac 用他的这套运算处理许多物理问题，显得特别简单．但从数学分析的函数定义来看，这样的函数 $\delta(x)$ 是不存在的．

不过，仔细想想就会发现，这个$\delta(x)$函数 却是经典意义下的函数的极限．例如，取
$$
f_k(x)=\frac{2}{\pi}\left(\frac{k}{1+k^2 x^2}\right)
$$

（见下图），则有

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f_k(x) d x=1
$$

而且显然有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=\delta(x)
$$

（如果承认积分号下取极限，便有 $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) d x=1$ ）．
 ![图片](/uploads/2025-03/c58cf2.jpg)
 
 
 ## 为什么要引入单位冲激函数
总结一下为什么要引入单位冲激函数，主要有3点原因：

（1）在数学，物理学以及工程技术中，一些常用的重要函数，如常数函数，线性函数，符号函数以及单位阶跃函数等等，都不能进行傅里叶变换。

（2）周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的Fourier变换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否统一起来。

（3）在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常的函数形式来描述，如冲击力，脉冲电压，质点的质量等等。

这些都迫使我们引入一种特别的函数-冲激函数。

### 简化理解 
长度为 $a$ ，质量为 $m$ 的均匀细杆放在 $x$ 轴的 $[0, a]$ 区间上，则它的线密度函数为 $P_a(x)=\left\{\begin{array}{cc}m / a, & 0 \leq x \leq a, \\ 0, & \text { 其它。 }\end{array}\right.$
 质量为 $m$ 的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于细杆取 $a \rightarrow 0$ 的结果。相应地，质点的密度函数为

$$
P(x)=\lim _{a \rightarrow 0}

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