最后更新: 2025-09-25 16:43 查看: 96 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量组等价的几何意义

## 向量组等价的几何解释

两个向量组 $A$ 和 $B$ 的等价就是这两个向量组能够互相被线性表示。详细地说, 向量组 $A$中的每一个向量都可以被向量组 $\boldsymbol{B}$ 线性表示; 同样, 向量组 $\boldsymbol{B}$ 中的每一个向量也可以被向量组 $A$ 线性表示。或者说, 如果把一个向量组中的任意一个向量拿出来放到另外一个向量组中, 那么另外这个扩大的向量组就会线性相关，而且不论原向量组是否线性相关。
根据前面分析的向量组线性表示的几何意义，我们很容易理解向量组等价的几何意义:

> **两个向量组等价就是两个向量组所扩张成的直线、平面或空间相互重合**

下面讨论的是三维空间中向量组的等价关系。

单位为了更好理解向量组的等价，我们先给出一个概念：向量组的秩，他的详细介绍会在 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=481)

> **假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为1，就表示这$n$个向量共线。** 例如含有3个向量的   $\left( \left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]  ， \left[\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right] \right)$    因为坐标成比例，所以共线，秩为1，代表的是1维。

> **假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为2，就表示这$n$个向量在一个平面内**。例如含有3个向量的   $\left( \left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]  ， \left[\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right] \right)$   前面两个在一条直线上，另外一个是另一个直线，两个直线确定一个平面，所以，秩为2，代表的是2维。

> **假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为3，就表示这$n$个向量组成一个立方体** 例如含有3个向量的   $\left( \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\0 \end{array}\right]  ， \left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\1 \end{array}\right] \right)$  这个是标准的笛卡尔坐标，所以这3个向量张成了立体空间，所以秩为3，代表三个向量共体。
 
以此类推。理解了上面的结论后，下面再进一步细细解释上面的结果。

### 直线上的等价向量组
 如图 4-11 所示的三维空间中, 共有三条分离的不共面直线, 每条直线上分别有两个、三个和四个向量。两向量 $\alpha_1 、 \alpha_2$ 在一条直线上; 三向量 $\beta_1 、 \beta_2 、 \beta_3$ 在另外一条直线上; 四向量 $\gamma_1 、 \gamma_2 、 \gamma_3 、 \gamma_4$ 在第三条直线上。
 
  ![图片](/uploads/2025-03/316418.jpg){width=500px}
   
   由此, 我们可以验证以下命题:

$\left\{\alpha_1\right\},\left\{\alpha_2\right\},\left\{\alpha_1, \alpha_2\right\}$ 是等价向量组;

$\left\{\boldsymbol{\beta}_1\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right\}$ 是等价向量组;

$\left\{\gamma_1\right\} ...\left\{\gamma_4\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_2\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_3\right\} ...\left\{\gamma_3, \gamma_4\right\}$, $\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_4\right\},...\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\right\}$ 是等价向量组。

其实上述命题不用验证也可以知道, 因为我们罗列的等价向量组里的向量都包含在一条直线上, 每个向量组都扩张成同一根直线。

从这里不难得出第一个结论：
 
 > 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为1，就表示这$n$个向量在一条直线内。
 
 
如果我们使用更具体的数字来验证，比如有3个向量

$$
\boldsymbol{a_1}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a_2}=\left(\begin{array}{l}
3 \\
3 \\
3
\end{array}\right) ;

\quad \boldsymbol{a

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