最后更新: 2025-12-10 12:13 查看: 19 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

数学期望应用举例

## 数学期望应用举例

`例` 有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命（以小时计）$X_k(k=1$ ， 2）服从同一指数分布，其概率密度为

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-x / \theta}, & x>0, \\
0, & x \leqslant 0,
\end{array} \quad \theta>0 .\right.
$$

若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时计）$N$ 的数学期望．

解 $X_k(k=1,2)$ 的分布函数为

$$
F(x)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-x / \theta}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0 .\end{cases}
$$

由 [最小值分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2556) $N=\min \left\{X_1, X_2\right\}$ 的分布函数为

$$
F_{\min }(x)=1-[1-F(x)]^2= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-2 x / \theta}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$

因而 $N$ 的概率密度为

$$
f_{\min }(x)= \begin{cases}\frac{2}{\theta} \mathrm{e}^{-2 x / \theta}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0 .\end{cases}
$$

于是 $N$ 的数学期望为

$$
E(N)=\int_{-\infty}^{\infty} x f_{\min }(x) \mathrm{d} x=\int_0^{\infty} \frac{2 x}{\theta} \mathrm{e}^{-2 x / \theta} \mathrm{d} x=\frac{\theta}{2} .
$$

`例` 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式．记使用寿命为 $X$（以年计），规定：

$$
\begin{aligned}
& X \leqslant 1, \text { 一台付款 } 1500 \text { 元; } \\
& 1<X \leqslant 2, \text { 一台付款 } 2000 \text { 元; }
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& 2<X \leqslant 3, \text { 一台付款 } 2500 \text { 元; } \\
& X>3, \text { 一台付款 } 3000 \text { 元. }
\end{aligned}
$$

设寿命 $X$ 服从指数分布，概率密度为

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{10} \mathrm{e}^{-x / 10}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$

试求该商店一台这种家用电器收费 $Y$ 的数学期望．
解 先求出寿命 $X$ 落在各个时间区间的概率．即有

$$
\begin{gathered}
P\{X \leqslant 1\}=\int_0^1 \frac{1}{10} \mathrm{e}^{-x / 10} \mathrm{~d} x=1-\mathrm{e}^{-0.1}=0.0952, \\
P\{1<X \leqslant 2\}=\int_1^2 \frac{1}{10} \mathrm{e}^{-x / 10} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{-0.1}-\mathrm{e}^{-0.2}=0.0861, \\
P\{2<X \leqslant 3\}=\int_2^3 \frac{1}{10} \mathrm{e}^{-x / 10} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{-0.2}-\mathrm{e}^{-0.3}=0.0779, \\
P\{X>3\}=\int_3^{\infty} \frac{1}{10} \mathrm{e}^{-x / 10} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{-0.3}=0.7408 .
\end{gathered}
$$

一台家用电器收费 $Y$ 的分布律为
 ![图片](/uploads/2025-12/7e8d62.jpg)
 
  得 $E(Y)=2732.15$ ，即平均一台收费 2732．15元．
  
  
  `例` 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验 $N$ 个人的血，可以用两种方法进行。（i）将每个人的血分别去验，这就需验 $N$ 次。（ii）按 $k$ 个人一组进行分组，把

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