最后更新: 2025-12-10 12:13 查看: 56 次纠错评论(0) 课件开VIP

数学期望应用举例

## 数学期望应用举例

`例` 有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命（以小时计）$X_k(k=1$ ， 2）服从同一指数分布，其概率密度为

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-x / \theta}, & x>0, \\
0, & x \leqslant 0,
\end{array} \quad \theta>0 .\right.
$$

若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时计）$N$ 的数学期望．

解 $X_k(k=1,2)$ 的分布函数为

$$
F(x)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-x / \theta}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0 .\end{cases}
$$

由 [最小值分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2556) $N=\min \left\{X_1, X_2\right\}$ 的分布函数为

$$
F_{\min }(x)=1-[1-F(x)]^2= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-2 x / \theta}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$

因而 $N$ 的概率密度为

$$
f_{\min }(x)= \begin{cases}\frac{2}{\theta} \mathrm{e}^{-2 x / \theta}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0 .\end{cases}
$$

于是 $N$ 的数学期望为

$$
E(N)=\int_{-\infty}^{\infty} x f_{\min }(x) \mathrm{d} x=\int_0^{\infty} \frac{2 x}{\theta} \mathrm{e}^{-2 x / \theta} \mathrm{d} x=\frac{\theta}{2} .
$$

`例` 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式．记使用寿命为 $X$（以年计），规定：

$$
\begin{aligned}
& X \leqslant 1, \text { 一台付款 } 1500 \text { 元; } \\
& 1<X \leqslant 2, \text { 一台付款 } 2000 \text { 元; }
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& 2<X \leqslant 3, \text { 一台付款 } 2500 \text { 元; } \\
& X>3, \text { 一台付款 } 3000 \text { 元. }
\end{aligned}
$$

设寿命 $X$ 服从指数分布，概率密度为

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{10} \mathrm{e}^{-x / 10}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$

试求该商店一台这种家用电器收费 $Y$ 的数学期望．
解 先求出寿命 $X$ 落在各个时间区间的概率．即有

$$
\begin{gathered}
P\{X \leqslant 1\}=\int_0^1 \frac{1}{10} \mathrm{e}^{-x / 10} \mathrm{~d} x=1-\mathrm{e}^{-0.1}=0.0952, \\
P\{1<X \leqslant 2\}=\int_1^2 \frac{1}{10} \mathrm{e}^{-x / 10} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{-0.1}-\mathrm{e}^{-0.2}=0.0861, \\
P\{2<X \leqslant 3\}=\int_2^3 \frac{1}{10} \mathrm{e}^{-x / 10} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{-0.2}-\mathrm{e}^{-0.3}=0.0779, \\
P\{X>3\}=\int_3^{\infty} \frac{1}{10} \mathrm{e}^{-x / 10} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{-0.3}=0.7408 .
\end{gathered}
$$

一台家用电器收费 $Y$ 的分布律为
 ![图片](/uploads/2025-12/7e8d62.jpg)
 
  得 $E(Y)=2732.15$ ，即平均一台收费 2732．15元．
  
  
  `例` 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验 $N$ 个人的血，可以用两种方法进行。（i）将每个人的血分别去验，这就需验 $N$ 次。（ii）按 $k$ 个人一组进行分组，把从 $k$ 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明 $k$ 个人的血都呈阴性反应，这样，这 $k$ 个人的血就只需验一次．若呈阳性，则再对这 $k$ 个人的血液分别进行化验．这样，$k$ 个人的血总共要化验 $k+1$次．假设每个人化验呈阳性的概率为 $p$ ，且这些人的试验反应是相互独立的．试说明当 $p$ 较小时，选取适当的 $k$ ，按第二种方法可以减少化验的次数．并说明 $k$取什么值时最适宜．

解 各人的血呈阴性反应的概率为 $q=1-p$ ．因而 $k$ 个人的混合血呈阴性反应的概率为 $q^k, k$ 个人的混合血呈阳性反应的概率为 $1-q^k$ ．

设以 $k$ 个人为一组时，组内每人化验的次数为 $X$ ，则 $X$ 是一个随机变量，其分布律为

![图片](/uploads/2025-12/68d699.jpg)
 
 
 $X$ 的数学期望为

$$
E(X)=\frac{1}{k} q^k+\left(1+\frac{1}{k}\right)\left(1-q^k\right)=1-q^k+\frac{1}{k} .
$$

$N$ 个人平均需化验的次数为

$$
N\left(1-q^k+\frac{1}{k}\right)
$$

由此可知，只要选择 $k$ 使

$$
1-q^k+\frac{1}{k}<1
$$

则 $N$ 个人平均需化验的次数 $<N$ ．当 $p$ 固定时，我们选取 $k$ 使得

$$
L=1-q^k+\frac{1}{k}
$$

小于 1 且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法．
例如，$p=0.1$ ，则 $q=0.9$ ，当 $k=4$ 时，$L=1-q^k+\frac{1}{k}$ 取到最小值．此时得到最好的分组方法．若 $N=1000$ ，此时以 $k=4$ 分组，则按第二种方法平均只需化验

$$
1000\left(1-0.9^4+\frac{1}{4}\right)=594 \text { (次) . }
$$

这样平均来说，可以减少 $40 \%$ 的工作量．

`例` 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量．他们估计出售一件产品可获利 $m$ 元，而积压一件产品导致 $n$ 元的损失．再者，他们预测销售量 $Y$（件）服从指数分布，其概率密度为

$$
f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-y / \theta}, & y>0, \\
0, & y \leqslant 0 .
\end{array} \quad \theta>0,\right.
$$

问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（ $m, n, \theta$ 均为已知）？
解 设生产 $x$ 件，则获利 $Q$ 是 $x$ 的函数
$$
Q=Q(x)= \begin{cases}m Y-n(x-Y), & Y<x, \\ m x, & Y \geqslant x .\end{cases}
$$

$Q$ 是随机变量，它是 $Y$ 的函数，其数学期望为

$$
\begin{aligned}
E(Q)= & \int_0^{\infty} Q f_Y(y) \mathrm{d} y \\
= & \int_0^x[m y-n(x-y)] \frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-y / \theta} \mathrm{d} y \\
& +\int_x^{\infty} m x \frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-y / \theta} \mathrm{d} y \\
= & (m+n) \theta-(m+n) \theta \mathrm{e}^{-x / \theta}-n x .
\end{aligned}
$$

令

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x} E(Q)=(m+n) \mathrm{e}^{-x / \theta}-n=0,
$$

得

$$
x=-\theta \ln \frac{n}{m+n} .
$$

而

$$
\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} E(Q)=\frac{-(m+n)}{\theta} \mathrm{e}^{-x / \theta}<0,
$$

故知当 $x=-\theta \ln \frac{n}{m+n}$ 时 $E(Q)$ 取极大值，且可知这也是最大值．
 例如，若 $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{10000} \mathrm{e}^{-\frac{y}{10000}}, & y>0, \\ 0, & y \leqslant 0,\end{array}\right.$且有 $m=500$ 元，$n=2000$ 元，则

$$
x=-10000 \ln \frac{2000}{500+2000}=2231.4
$$

取 $x=2231$ 件．

`例` 某甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜。若甲中标，他就将此项目以 10 千美元转让给他人。可认为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在 $7 \sim 11$ 千美元之间均匀分布．问甲应如何报价才能使获益的数学期望为最大（若甲中标必须将此项目以他自己的报价买下）。

解 设 $X_1, X_2, X_3$ 是其他三人的报价，按题意 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，且在区间 $(7,11)$ 上服从均匀分布．其分布函数为

$$
F(u)= \begin{cases}0, & u<7, \\ \frac{u-7}{4}, & 7 \leqslant u<11, \\ 1, & u \geqslant 11 .\end{cases}
$$

以 $Y$ 记三人最大出价，即 $Y=\max \left\{X_1, X_2, X_3\right\}$ ．$Y$ 的分布函数为

$$
F_Y(u)= \begin{cases}0, & u<7, \\ \left(\frac{u-7}{4}\right)^3, 7 \leqslant u<11, \\ 1, & u \geqslant 11 .\end{cases}
$$

若甲的报价为 $x$ ，按题意 $7 \leqslant x \leqslant 10$ ，知甲能赢得这一项目的概率为

$$
p=P\{Y \leqslant x\}=F_Y(x)=\left(\frac{x-7}{4}\right)^3 \quad(7 \leqslant x \leqslant 10) .
$$

以 $G(x)$ 记甲的赚钱数，$G(x)$ 是一个随机变量，它的分布律为

![图片](/uploads/2025-12/9d1495.jpg)
 
 于是甲赚钱数的数学期望为

$$
E[G(x)]=\left(\frac{x-7}{4}\right)^3(10-x) .
$$

令 $\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} E[G(x)]=\frac{1}{4^3}\left[(x-7)^2(37-4 x)\right]=0$ ，
得 $x=37 / 4, x=7$（舍去）．
又知 $\left.\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} E[G(x)]\right|_{x-37 / 4}<0$ ．
故知当甲的报价为 $x=37 / 4$ 千美元时，他赚钱数的数学期望达到极大值，还可知这也是最大值．

`例`  一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车．如到达一个车站没有旅客下车就不停车．以 $X$ 表示停车的次数，求 $E(X)$ （设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各位旅客是否下车相互独立）．

解 引入随机变量

$$
X_i=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { 在第 } i \text { 站没有人下车, } \\
1, & \text { 在第 } i \text { 站有人下车, }
\end{array} \quad i=1,2, \cdots, 10 .\right.
$$

易知

$$
X=X_1+X_2+\cdots+X_{10} .
$$

现在来求 $E(X)$ 。
按题意，任一旅客在第 $i$ 站不下车的概率为 $\frac{9}{10}$ ，因此 20 位旅客都不在第 $i$站下车的概率为 $\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$ ，在第 $i$ 站有人下车的概率为 $1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$ ，也就是

$$
P\left\{X_i=0\right\}=\left(\frac{9}{10}\right)^{20}, P\left\{X_i=1\right\}=1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}, i=1,2, \cdots, 10 .
$$

由此
 $$
E\left(X_i\right)=1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}, i=1,2, \cdots, 10 .
$$

进而

$$
\begin{aligned}
E(X) & =E\left(X_1+X_2+\cdots+X_{10}\right) \\
& =E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)+\cdots+E\left(X_{10}\right) \\
& =10\left[1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\right]=8.784 \text { (次). }
\end{aligned}
$$

本题是将 $X$ 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等

于随机变量数学期望之和来求数学期望的，这种处理方法具有一定的普遍意义．

`例` 设一电路中电流 $I(\mathrm{~A})$ 与电阻 $R(\Omega)$ 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

$$
g(i)=\left\{\begin{array}{ll}
2 i, & 0 \leqslant i \leqslant 1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array} \quad h(r)= \begin{cases}\frac{r^2}{9}, & 0 \leqslant r \leqslant 3, \\
0, & \text { 其他. }\end{cases}\right.
$$

试求电压 $V=I R$ 的均值．
解

$$
\begin{aligned}
E(V) & =E(I R)=E(I) E(R) \\
& =\left[\int_{-\infty}^{\infty} i g(i) \mathrm{d} i\right]\left[\int_{-\infty}^{\infty} r h(r) \mathrm{d} r\right] \\
& =\left(\int_0^1 2 i^2 \mathrm{~d} i\right)\left(\int_0^3 \frac{r^3}{9} \mathrm{~d} r\right)=\frac{3}{2}(\mathrm{~V})
\end{aligned}
$$

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