最后更新: 2025-10-20 16:58 查看: 31 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

中考研究：二次根式

## 二次根式的性质
模型解读：$\sqrt{a^2}=|a|=\left\{\begin{array}{l}a(a \geq 0) \\ -a(a<0)\end{array}\right.$ ．
一般步骤：先判断 $a$ 的正负，再根据绝对值的性质去绝对值．
适用范围：被开方数为完全平方式的二次根式的化简．

> 口诀： **一去根号先加绝对值，二断正负再去绝对值**

`例` 实数 $a$ 在数轴上的位置如图所示，则化简 $\sqrt{a^2-8 a+16}+\sqrt{(a-11)^2}$ 结果为
 ![图片](/uploads/2025-10/576a50.jpg)

分析：先由数轴上a的位置确定a的取值范围，再进一步求出 和 的取值范围，进而去根号化简求值
解：由数轴可得 $5<a<10$ ，

$$
\begin{aligned}
& \therefore a-4>0, a-11<0, \\
& \therefore \sqrt{a^2-8 a+16}+\sqrt{(a-11)^2} \\
& =\sqrt{(a-4)^2}+\sqrt{(a-11)^2} \\
& =a-4-a+11=7,
\end{aligned}
$$

`例` 若 $\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{3}$ ，则化简 $\sqrt{a^2-2 a+1}-|a-2|$ 的结果是
【分析】本题考查了二次根式和绝对值的化简，熟练掌握其运算性质是解题的关键．先利用完全平方公式，二次根式性质 $\sqrt{a^2}=|a|$ ，绝对值的性质，结合 $\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{3}$ 进行化简，再合并同类项即可得解．

【详解】解：  $1<\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{3}<2$ ，

$$
\begin{aligned}
& \therefore a-1>0, \quad a-2<0, \\
& \therefore \sqrt{a^2-2 a+1}-|a-2| \\
& =\sqrt{(a-1)^2}-(2-a) \\
& =|a-1|-(2-a) \\
& =a-1-(2-a) \\
& =2 a-3 .
\end{aligned}
$$

`例`已知 $0<a<1$ ，则 $\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}-2} \div\left(1-\frac{1}{a}\right)=$ 
$$
\begin{aligned}
&\text { 【详解】解：} \because 0<a<1 \text { ，}\\
&\begin{aligned}
& \therefore(a+1)(a-1)<0, \\
& \therefore a^2-1<0, \\
& \therefore \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}-2} \div\left(1-\frac{1}{a}\right) \\
& =\sqrt{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2} \div \frac{a-1}{a} \\
& =\left|a-\frac{1}{a}\right| \cdot \frac{a}{a-1} \\
& =\left|\frac{a^2-1}{a}\right| \cdot \frac{a}{a-1} \\
& =-\frac{(a+1)(a-1)}{a} \cdot \frac{a}{a-1} \\
& =-(a+1)\\
& =-a-1
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

## 典型习题
求代数式 $a+\sqrt{1-2 a+a^2}$ 的值，其中 $a=1007$ ，如图是小亮和小芳的解答过程：
 ![图片](/uploads/2025-10/a2646b.jpg){WIDTH=500PX}
 （1） $\_\_\_\_$的解法是错误的；
（2）求代数式 $a+2 \sqrt{a^2-6 a+9}$ 的值，其中 $a=-2024$ ．

【详解】（1）解：$\because$ 当 $a=1007$ 时， $1-a<0$ ，

$$
\therefore a+\sqrt{1-2 a+a^2}=a+\sqrt{(1-a)^2}=a+|1-a|=a-(1-a)=a-1+a=2 a-1,
$$

$\therefore$ 小亮的计算错误，小芳的计算正确；
（2）解：$a+2 \sqrt{a^2-6 a+9}$

$$
\begin{aligned}
& =a+2 \sqrt{(a-3)^2} \\
& =a+2|a-3|
\end{aligned}
$$

当 $a=-2024$ 时，$\quad a-3<0$ ，

$$
\therefore \text { 原式 }=a+2(3-a)=6-a=6+2024=2030 .
$$

### 压轴题
`例`【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．

阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：$(\sqrt{1-3 x})^2-|1-x|$ ．
解：隐含条件为 $1-3 x \geq 0$ ，解得 $x \leq \frac{1}{3}$ ，

$$
\therefore 1-x>0 \text {, }
$$

$\therefore$ 原式 $=(1-3 x)-(1-x)=1-3 x-1+x=-2 x$ ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：$\sqrt{(x-3)^2}-(\sqrt{2-x})^2$ ；
（2）已知 $a 、 b 、 c$ 为 $\triangle A B C$ 的三边长，化简：$\sqrt{(a-b-c)^2}+\sqrt{(b-a-c)^2}+\sqrt{(c-b-a)^2}$ ．
 解：【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，三角形的三边关系：
（1）要使 $\sqrt{2-x}$ 有意义，其被开方数 $2-x$ 应大于或等于 0 ，求出 $x$ 的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案．
【详解】（1）解：隐含条件为 $2-x \geq 0$ ，得 $x \leq 2$ ，

$$
\therefore x-3<0 \text {. }
$$

$$
\therefore \text { 原式 }=-(x-3)-2+x=-x+3-2+x=1 \text {; }
$$

（2）

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