最后更新: 2025-11-20 20:22 查看: 11 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

可列集

## 可列集
集合分为**有限集**和**无限集**。所谓有限集是指集合里的元素是有有限的数量，而所谓无限集时指集合里的元素有无穷多个。

对于有限集，只要按照顺序一个个取出来就可以了。所以对于**有限集一定是可列的**，我们更倾向关注无限集里的可列情况，所以先给出可列集的定义。

**定义1.11** 与自然数集 $N$ 对等的集合称为**可列集** 也叫 **可数集**。

由于 $N$ 可按大小顺序排成一无穷序列： 
$$
1,2,3, \cdots, n, \cdots,
$$

因此，一个集合 $A$ 是可数集合的充要条件为：$A$ 可以排成一个无穷序列：

$$
a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots
$$

## 无穷集合必有一个可列子集
**定理1.5  每个无穷集必包含一个可列子集**．

证明 设 $M$ 是一个无限集，因 $M \neq \varnothing$ ，总可以从 $M$ 中取一元素记为 $e_1$ ，由于 $M$ 是无限集，故 $M-\left\{e_1\right\} \neq \varnothing$ ，于是又可以从 $M- \left\{e_1\right\}$ 中取一元素，记为 $e_2$ ，显然 $e_2 \in M$ 且 $e_1 \neq e_2$ ，设已从 $M$ 中取出 $n$ 个这样的互异元素 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ ，由于 $M$ 是无限集，故 $M-\left\{e_1, e_2, \cdots, e_n\right\} \neq \varnothing$ ，于是又可以从 $M-\left\{e_1, e_2, \cdots, e_n\right\}$ 中取一元素，记为 $e_{n+1}$ ，显然 $e_{n+1} \in M$ 且和 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 都不相同，这样由归纳法，我们就找到 $M$ 的一个无限子集 $\left\{e_1, e_2, e_3, \cdots, e_n, \cdots\right\}$ ，它显然是一个可数集．

该定理说明可数集的一个特征：**它在所有无限集中有最小的基数**．我们把这个基数成为 ℵ₀（**阿列夫零**）

### 理解本定理

**每个无穷集必包含一个可列子集。** （这里“可列”也常被称为“可数无限”，即与自然数集等势的集合。）

### 直观理解

这个定理的意思是：**无论一个无穷集有多大、多复杂，它里面都“藏着一个”和自然数集一样多的子集。** 可数无限（ℵ₀）是最小的一种无穷。所以，这个定理断言：**任何无穷集的基数都至少是 ℵ₀。**

### 证明思路与过程

这个定理的证明是**构造性**的，即我们通过一个具体的步骤把这个可列子集“找出来”。

**证明：**

设 $ A $ 是一个无穷集合。

1. **第一步：**
   因为 $ A $ 是无穷的，所以它不可能是空集。因此，我们可以从 $ A $ 中选取一个元素，记作 $ a_1 $。那么，集合 $ A \setminus \{a_1\} $（即从A中去掉a1后剩下的集合）仍然是无穷的（因为如果去掉一个元素就变成有限，那么原来的A就是有限集了）。

2. **第二步：**
   由于 $ A \setminus \{a_1\} $ 是无穷的，它非空。我们可以从中再选取一个元素，记作 $ a_2 $（且 $ a_2 \neq a_1 $）。同样地，集合 $ A \setminus \{a_1, a_2\} $ 仍然是无穷的。

3. **第n步：**
   假设我们已经选取了彼此不同的元素 $ a_1, a_2, a_3, ..., a_n $。由于 $ A $ 是无穷的，集合 $ A \setminus \{a_1, a_2, ..., a_n\} $ 不可能是空集（否则A就是有限集）。因此，我们可以从中再选取一个新的元素 $ a_{n+1} $。

4. **无限进行下去：**
   根据数学归纳法（或者更准确地说，依赖选择公理），我们可以将这个过程无限地进行下去。

通过以上过程，我们构造出了一个由 $ A $ 中元素组成的无限序列：
$$
a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...
$$
这个序列中的所有元素都是彼此不同的。

5. **构造可列子集：**
   现在我们定义一个新的集合 $ S $：
   $$
   S = \{ a_1, a_2, a_3, ... \}
   $$
   这个集合 $ S $ 是 $ A $ 的一个子集，并且我们可以建立一个明显的**一一对应**：
   $$
   f: \mathbb{N} \to S \quad \text{定义为} \quad f(n) = a_n
   $$
   这个函数是满射（因为S就是由所有这些a_n构成的），也是单射（因为我们在构造时保证了每个a_n都是新选取的，互不相同）。

**结论：**
因此，我们成功地从无穷集 $ A $ 中构造出了一个子集 $ S $，并且 $ S $ 与自然数集 $ \mathbb{N} $ 等势，即 $ S $ 是一个可列集。证毕。
 
**举个例子：**
实数集 $ \mathbb{R} $ 是不可数的无穷集，它非常大。但这个定理保证了，即使在 $ \mathbb{R} $ 中，也一定存在一个子集（例如自然数集 $ \mathbb{N} $ 本身，或者有理数集 $ \mathbb{Q} $）是可列的。事实上，我们可以构造出更奇怪的可列子集，比如在任意一个无理数区间内，都存在一个可列的子集。

## 判断一个集合是无穷集合

**定理1.6** $A$ 为无穷集的充分必要条件是 $A$ 与自己的某个真子集对等．
证明 必要性．设 $A$ 为无穷集，则存在 $a_0 \in A$ ，而 $A_0=A \backslash\left\{a_0\right\}$ 仍为无穷集，故由前一定理，存在可列子集 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_k, \cdots\righ

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