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点集、度量空间、欧氏空间、领域

## 引言
前面介绍了集合的概念及其运算．那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数（有限、可数无限、不可数无限等），没有涉及集合**各个元素之间的关系**。但是，数学中需要处理的集合，其元素之间原本就存在着某种关系，也就是说，集合内部有一种结构。

> **打个比方，前面研究的集合，比如实数集、整数集、有理数集合，集合就犹如一个个房子，而研究集合的关系就如研究房子之间的关系(房子的数量、房子的大小等)，而房子里最终是为了住的人，这里的“人”就是集合里的元素， 因为人与人有亲疏远近关系，也有男女性别之分，所以，集合里的元素也有距离，也有分类，我们可以把房子里的人类比成集合里点。**

特别的，对于全体实数组成的集合，我们不仅考虑一个个的实数，而且要度量彼此间的距离，以及研究实数间的运算，等等．距离就是一种结构。大家知道，有了两点间的距离，就可以构成区间，定义邻域，于是就可以研究集合上函数的极限、连续、可导等．因此，能够度量元素间距离的集合，是数学研究的重要对象。

这一章中，我们就是要考察这样的空间——**度量空间**（也称之为距离空间）。由于我们研究的函数往往定义在一维的实数直线上，以及在 $n$ 维的欧氏空间 $\mathbf{R}^n$ 中，而其中的元素称为＂点＂，并且两点之间有距离，所以习惯上把集合中元素间有某种关系、集合内有某种结构的集合，叫做**空间**或者**点集**．

当然，度量空间不仅限于数集和欧氏空间，区间 $[a, b]$ 上连续函数的全体也构成度量空间．把朴素的欧氏空间推广到更一般的空间，扩大数学视野，形成一般的抽象空间的观念，是本章的任务．

## 欧氏空间

让我们回忆数学分析中的极限概念．在定义数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限是 $x$ 时，要用绝对值 $\left|x_n-x\right|$ 来表示 $x_n$ 和 $x$ 的接近程度。如果我们将实数直线 $\mathbf{R}$ 上任何两点 $a$ 和 $b$ 之间的距离 $d(a, b)$ 用 $|a-b|$ 加以表示，那么所谓 $\mathbf{R}$ 中数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $x$ ，就意味着 $x_n$和 $x$ 之间的距离随 $n \rightarrow \infty$ 而趋于 0 ，即

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, x\right)=0
$$

这使我们想到，在一般的点集 $E$ 中如果也有＂距离＂，那么在点集 $E$ 中也可借这一距离定义极限，这对研究集合的性质将是极其重要的工具。那么，究竟什么是距离呢？

设 $X$ 是一个集合，若对于 $X$ 中任意两个元素 $x, y$ ，都有唯一确定的实数 $d(x, y)$ 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：

> 1. $  d(x, y) \geqslant 0, d(x, y)=0$ 的充要条件为 $x=y$ ；
> 2. $ d(x, y) \leqslant d(x, z)+d(y, z)$ ，对任意 $z$ 都成立，则称 $d(x, y)$ 是 $x, y$ 之间的距离，称 $(X, d)$ 为度量空间或距离空间．

$X$ 中的元素称为点，条件 $2^{\circ}$ 称为三点不等式．

距离 $d$ 有对称性，即 $d(x, y)=d(y, x)$ ．实际上，在三点不等式中取 $z=x$ ，并由条件 $1^{\circ}$ 知

$$
d(x, y) \leqslant d(x, x)+d(y, x)=d(y, x) .
$$

由于 $x$ 和 $y$ 的次序是任意的，故同样可证 $d(y, x) \l

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