最后更新: 2025-11-09 15:23 查看: 52 次纠错评论(0) 课件开VIP

点集、度量空间、欧氏空间、领域

## 引言
前面介绍了集合的概念及其运算．那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数（有限、可数无限、不可数无限等），没有涉及集合**各个元素之间的关系**。但是，数学中需要处理的集合，其元素之间原本就存在着某种关系，也就是说，集合内部有一种结构。

> **打个比方，前面研究的集合，比如实数集、整数集、有理数集合，集合就犹如一个个房子，而研究集合的关系就如研究房子之间的关系(房子的数量、房子的大小等)，而房子里最终是为了住的人，这里的“人”就是集合里的元素， 因为人与人有亲疏远近关系，也有男女性别之分，所以，集合里的元素也有距离，也有分类，我们可以把房子里的人类比成集合里点。**

特别的，对于全体实数组成的集合，我们不仅考虑一个个的实数，而且要度量彼此间的距离，以及研究实数间的运算，等等．距离就是一种结构。大家知道，有了两点间的距离，就可以构成区间，定义邻域，于是就可以研究集合上函数的极限、连续、可导等．因此，能够度量元素间距离的集合，是数学研究的重要对象。

这一章中，我们就是要考察这样的空间——**度量空间**（也称之为距离空间）。由于我们研究的函数往往定义在一维的实数直线上，以及在 $n$ 维的欧氏空间 $\mathbf{R}^n$ 中，而其中的元素称为＂点＂，并且两点之间有距离，所以习惯上把集合中元素间有某种关系、集合内有某种结构的集合，叫做**空间**或者**点集**．

当然，度量空间不仅限于数集和欧氏空间，区间 $[a, b]$ 上连续函数的全体也构成度量空间．把朴素的欧氏空间推广到更一般的空间，扩大数学视野，形成一般的抽象空间的观念，是本章的任务．

## 欧氏空间

让我们回忆数学分析中的极限概念．在定义数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限是 $x$ 时，要用绝对值 $\left|x_n-x\right|$ 来表示 $x_n$ 和 $x$ 的接近程度。如果我们将实数直线 $\mathbf{R}$ 上任何两点 $a$ 和 $b$ 之间的距离 $d(a, b)$ 用 $|a-b|$ 加以表示，那么所谓 $\mathbf{R}$ 中数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $x$ ，就意味着 $x_n$和 $x$ 之间的距离随 $n \rightarrow \infty$ 而趋于 0 ，即

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, x\right)=0
$$

这使我们想到，在一般的点集 $E$ 中如果也有＂距离＂，那么在点集 $E$ 中也可借这一距离定义极限，这对研究集合的性质将是极其重要的工具。那么，究竟什么是距离呢？

设 $X$ 是一个集合，若对于 $X$ 中任意两个元素 $x, y$ ，都有唯一确定的实数 $d(x, y)$ 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：

> 1. $  d(x, y) \geqslant 0, d(x, y)=0$ 的充要条件为 $x=y$ ；
> 2. $ d(x, y) \leqslant d(x, z)+d(y, z)$ ，对任意 $z$ 都成立，则称 $d(x, y)$ 是 $x, y$ 之间的距离，称 $(X, d)$ 为度量空间或距离空间．

$X$ 中的元素称为点，条件 $2^{\circ}$ 称为三点不等式．

距离 $d$ 有对称性，即 $d(x, y)=d(y, x)$ ．实际上，在三点不等式中取 $z=x$ ，并由条件 $1^{\circ}$ 知

$$
d(x, y) \leqslant d(x, x)+d(y, x)=d(y, x) .
$$

由于 $x$ 和 $y$ 的次序是任意的，故同样可证 $d(y, x) \leqslant d(x, y)$ ，这就得到 $d(x, y)=d(y, x)$ 。

如果 $(X, d)$ 是度量空间，$Y$ 是 $X$ 的一个非空子集，则 $(Y, d)$ 也是一个度量空间，称为 $(X, d)$ 的子空间．

### $R^n$ 中的距离

对于 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ， $y=\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right) \in \mathbf{R}^n$ ，它们间的距离 $d(x, y)$ 为

$$
\boxed{
d(x, y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-y_i\right)^2},
}
$$

特别 $d(x, 0)=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ 称为 $x$ 的**模**，记作 $|x|$ ．因此，$d(x, y)=|x-y|$ ．

根据上面距离的定义，假设$n=2$，即平面上两点间距离，他的公式就是
 
 $$
  d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}...(1) 
 $$
 
 ![](/uploads/2025-11/2af018.jpg){width=300px}

可以看到，他和高中学过的距离公式是一样的。

公式（1）常被称作$n$维空间的**欧几里得距离**。

## 领域

**定义1** $ \mathbf{R}^n$ 中所有和定点 $P_0$ 之距离小于定数 $\delta>0$ 的点的全体，即集合

$$
\left\{P: d\left(P, P_0\right)<\delta\right\}
$$

称为点 $P_0$ 之 $\delta$ 邻域，并记为 $U\left(P_0, \delta\right) . P_0$ 称为邻域的中心，$\delta$ 称为邻域的半径．在不需要特别指出是怎样的一个半径时，也干脆说是 $P_0$ 的一个邻域，记作 $U\left(P_0\right)$ 。显然，在 $\mathbf{R}^1, \mathbf{R}^2, \mathbf{R}^3$ 中的 $U\left(P_0, \delta\right)$ ，就是以 $P_0$ 为中心 $\delta$ 为半径的**开区间**，**开圆**和**开球**。

### 一维邻域
一维邻域就是开区间,即以$a$为中心，左右可以移动最长为$\delta$距离的线段。

![图片](/uploads/2025-11/076e0f.jpg)

### 二维邻域
二维邻域就是开圆,即以$a$为中心，半径为$\delta$的圆。

![图片](/uploads/2025-11/2ce10e.jpg)
 
### 三维邻域
三维邻域就是开球,即以$a$为中心，半径为$\delta$的空间球。

![图片](/uploads/2025-11/39cbdb.jpg)

容易证明邻域具有下面的基本性质：
（1）$P \in U(P)$ ；
（2）对于 $U_1(P)$ 和 $U_2(P)$ ，存在 $U_3(P) \subset U_1(P) \cap U_2(P)$ ；
（3）对于 $Q \in U(P)$ ，存在 $U(Q) \subset U(P)$ ；
（4）对于 $P \neq Q$ ，存在 $U(P)$ 和 $U(Q)$ ，使 $U(P) \cap U(Q)=\varnothing$ ．

解释：（1）对每个点 $P$，它的每个邻域 $U(P)$ 都包含它自己。 换句话说，邻域必须包含该点，不会出现“P 的邻域却不含 P”的情况。
直观理解：说到“P 附近”的区域，当然要包含 P 本身。

（2） 如果 $U_1$ 和 $U_2$ 都是 P 的邻域，那么它们的交集里也包含某个 P 的邻域 $U_3$。
 换句话说，有限个邻域的交集仍然是邻域（严格说是“包含一个邻域”）。
  直观理解：两个“附近”重叠的部分，仍然是一个“附近”。
  
 （3） 如果 Q 在 P 的某个邻域里，那么**存在** Q 自己有一个邻域完全包含在 P 的那个邻域里。(这里特别强调的是存在)
 直观理解：邻域内的每个点，其周围也有一小块属于该邻域。
 这保证了邻域是“向内包含”的，不是只包含边界点。
 
  （4） 任意两个不同点，可以找到它们的互相不交的邻域。这就是著名的 **Hausdorff 分离公理**。  不同点可用不相交邻域分开 或者说两个不同的人，可以各自画个小圈互不重叠。

## 开矩体
点集 $I=\left\{x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \mid a_i<x_i\right. \left\langle b_i, i=1,2, \cdots, n\right\}$（其中所有 $a_i, b_i$ 为常数）称为（ $n$ 维）**开矩体**．

![图片](/uploads/2025-11/ee4d86.jpg){width=200px}

若将 $I$ 的定义中的不等式 $a_i<x_i<b_i(i=1,2, \cdots, n)$ 全改为 $a_i \leqslant x_i \leqslant b_i$ 或 $a_i \leqslant x_i<b_i$ ，则相应的点集改称为**闭矩体**或**半开矩体**．数 $b_i-a_i(i=1,2, \cdots, n)$ 称为**矩体的边长**，边长全都相等的矩体称为**方体**．

球和矩体是 $\mathbf{R}^n$ 中两类基本的点集，当 $n=1$ 时都是直线上的区间，因此它们都是区间的推广．

**定义2** 设 $\left\{P_n\right\}$ 为 $\mathbf{R}^m$ 中一点列，$P_0 \in \mathbf{R}^m$ ，如果当 $n \rightarrow \infty$ 时有 $d\left(P_n, P_0\right) \rightarrow 0$ ，则称点列 $\left\{P_n\right\}$ 收敛于 $P_0$ ．记为 $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n=P_0$ 或 $P_n \rightarrow P_0(n \rightarrow \infty)$ 。用邻域的术语来说就是：对于 $P_0$ 的任一邻域 $U\left(P_0\right)$ ，存在某个自然数 $N$ ，使当 $n>N$ 时，$P_n \in U\left(P_0\right)$ 。

**定义3** 两个非空的点集 $A, B$ 的距离定义为

$$
d(A, B)=\inf _{\substack{P \in A \\ Q \in B}} d(P, Q)
$$

**定义4** 一个非空点集 $E$ 的直径定义为

$$
\delta(E)=\sup _{\substack{P \in E \\ Q \in E}} d(P, Q)
$$

**定义5** 设 $E$ 为 $\mathbf{R}^n$ 中一点集，如果 $\delta(E)<\infty$ ，则称 $E$ 为有界点集（空集也作为有界点集）。

显然，$E$ 为有界点集的充要条件是存在常数 $K$ ，使对于所有的 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in E$ ，都有 $\left|x_i\right| \leqslant K(i=1,2, \cdots, n)$ ，即存在常数 $K$ ，对所有 $x \in E$ 有 $d(x, 0)<K$ ，这里 $0=(0,0, \cdots, 0)$ ，称为 $n$ 维空间的**原点**．

**定义6** 点集 $\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right): a_i<x_i<b_i, i=1,2, \cdots, n\right\}$ 称为一个开区间（ $n$ 维），如将其中不等式一律换成 $a_i \leqslant x_i \leqslant b_i$ ， $i=1,2, \cdots, n$（或 $a_i<x_i \leqslant b_i, i=1,2, \cdots, n$ ），则称之为一个闭区间 （或左开右闭区间）．当上述各种区间无区别的必要时，统称为区间，记作 $I . b_i-a_i(i=1,2, \cdots, n)$ 称为 $I$ 的第 $i$ 个＂边长＂，$\prod_{i=1}^n\left(b_i-\right. \left.a_i\right)$ 称为 $I$ 的＂体积＂，记为 $|I|$ ．

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