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索末菲理论

1.4 索末菲理论

玻尔理论是成功的，但是仅局限于氢原子和类氢离子，而且该理论认为电子绕原子核转动的轨道是圆形轨道也是一个问题．因此，索末菲（A．J．W．Sommerfeld）随后（1916年）提出了一个改进理论，即索末菲理论。

1．索末菲量子化通则
考虑一个质量为 $m$ ，广义坐标为 $q$ ，对应的广义动量为 $p$ ，角频率为 $\omega$ 的一维线性谐振子，根据经典物理理论，其能量 $\varepsilon$ 为可表示为

$$
\varepsilon=\frac{p^2}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^2 q^2
$$

或

$$
\frac{p^2}{(\sqrt{2 m \varepsilon})^2}+\frac{q^2}{\left(\sqrt{\frac{2 \varepsilon}{m \omega^2}}\right)^2}=1 ...(1.27)
$$

由广义坐标和广义动量组成的空间称为相空间．式（1．27）在相空间中是一椭圆，如图1．6所示，表示在相空间中，一维线性谐振子运动轨迹是椭圆，其半短轴和半长轴分别为 $\sqrt{2 m \varepsilon}$ 和 $\sqrt{\frac{2 \varepsilon}{m \omega^2}}$ ．

![图片](/uploads/2025-11/4fd111.jpg)
 
 对图 1.6 中的＂运动轨迹＂进行相空间闭路曲线积分，应该等于该椭圆所围面积

$$
\oint p \mathrm{~d} q=\pi \sqrt{2 m \varepsilon} \sqrt{\frac{2 \varepsilon}{m \omega^2}}=\frac{2 \pi \varepsilon}{\omega}=n h, \quad n=1,2, \cdots
$$

上式最后一步是将普朗克假说 $\varepsilon=n h v$ 代人其中．
将式（1．28）推广至多自由度周期运动系统，假设每个自由度均满足

$$
\oint p_i \mathrm{~d} q_i=n_i h, \quad n_i=1,2,3, \cdots
$$

其中，$q_i$ 和 $p_i$ 分别是第 $i$ 个自由度的广义坐标和相应的广义动量，量子数 $n_i$ 为整数．式（1．29）即所谓的量子化通则，它说明：每一个自由度的相空间闭路曲线积分为 $h$ 整数倍的运动状态才是允许的．

2．索末菲椭圆轨道
对于氢原子，核外电子质量为 $m_{\mathrm{e}}$ ，设想其在二维平面上受库仑力绕核周期性转动，广义坐标为 $r$ 和 $\varphi$ ，根据量子化通则式（1．29），有量子化条件

$$
\begin{aligned}
& \oint L \mathrm{~d} \varphi=n_{\varphi} h ...(1.30) \\
& \oint p_r \mathrm{~d} r=n_r h  ...(1.31)
\end{aligned}
$$

式中，$L$ 是轨道角动量，$n_{\varphi}$ 是与其对应的角量子数；$p_r$

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