最后更新: 2025-11-12 07:56 查看: 27 次纠错评论(0) 课件开VIP

量子信息与量子计算机

量子物理学中的量子态叠加原理、量子纠缠等奇特规律为量子计算和量子信
息传输提供了可能.

1．量子计算基础
1）量子比特
经典计算机操控的对象是经典比特（bit），它有两个状态，即 0 和 1 ．在量子计算和量子信息理论中，操控的是量子比特（quantum bit，简写为 qubit）．量子比特可处在的可能状态是 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ ，还可以处在它们的叠加态

$$
|\psi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle
$$

其中 $a 、 b$ 一般是复数，且满足

$$
|a|^2+|b|^2=1 ...(11.61)
$$

式（11．61）称为量子比特的状态归一化，其长度为1．因此，量子比特的状态是二维复向量空间的单位向量，特殊的本征态 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 被称为计算基矢态，它们组成二维 Hilbert空间的一组正交基。量子比特的另一种几何表示为

$$
|\psi\rangle=\cos \frac{\theta}{2}|0\rangle+\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi} \sin \frac{\theta}{2}|1\rangle
$$

显然，上式满足归一化公式（11．61），且 $\theta$ 和 $\varphi$均为实数，它们定义了单位三维布洛赫球上的一个点，如图 11.11 所示．

布洛赫球面上有无穷多个点，因此原则上可以用 $\theta, \varphi$ 的连续变化获得无限二进制信息存储．但实际上，量子比特的测量只会给出 0 或 1 ，而且测量会改变量子比特的状态，将其中 0 和 1 的叠加态坍缩为与测量结果一致的特定本征态，即单次测量只能得到关于量子比特状态的一比特信息．事实证明：只有在测量了无
数多个完全相同的量子比特后，才能确定式（11．60）中的 $a$ 和 $b$ 值．
在实验上，实现量子比特的方法较多，如光子的 $x$ 方向或 $y$ 方向两种可能的偏振态，在均匀电磁场中核自旋的取向，电子沿某一方向（如外磁场 $\boldsymbol{B}$ 方向）朝上 $\uparrow$ 或朝下 $\downarrow$ 两个可能取向自旋态，超导环中电流的两种可能取向等．

假设有两个经典比特，则有 4 种状态： $00,01,10,11$ ．然而，对于两个量子比特，有 4 个基本状态，即基矢 $|00\rangle_{12},|01\rangle_{12},|10\rangle_{12},|11\rangle_{12}$ ；此外，量子比特还可以处在由这 4 个基矢的任意叠加态，即

$$
|\psi\rangle=a_{00}|00\rangle_{12}+a_{01}|01\rangle_{12}+a_{10}|10\rangle_{12}+a_{11}|11\rangle_{12}
$$

两个量子比特组成的量子纠缠态可用四维 Hilbert 空间的一个矢量描述，该空间中最常用的正交完备基称为＂贝尔基＂

$$
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00\rangle_{12} \pm|11\rangle_{12}\right), \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|01\rangle_{12} \pm|10\rangle_{12}\right)
$$

或采用两个电子体系的自旋纠缠态（自旋朝上和朝下分别表示 0 和 1 态）表示贝尔基：

$$
\begin{aligned}
& \left|\psi^{ \pm}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow \downarrow\rangle_{12} \pm|\downarrow \uparrow\rangle_{12}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2 \pm|\downarrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2\right) \\
& \left|\varphi^{ \pm}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow \uparrow\rangle_{12} \pm|\downarrow \downarrow\rangle_{12}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2 \pm|\downarrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2\right)
\end{aligned}
$$

依次类推，对于由 $N$ 个量子比特组成的系统，其量子态用 $2^N$ 维 Hilbert 空间的一个矢量描述，即

$$
|\psi\rangle=\sum_{s_1, s_2, \cdots, s_N} a_{s_1, s_2, \cdots, s_N}\left|S_1 S_2 \cdots S_N\right\rangle
$$

其中每个 $S_i$ 可取 0 或 $1, S_i=0,1(i=1,2, \cdots, N),\left|S_1 S_2 \cdots S_N\right\rangle$ 表示在 $2^N$ 维 Hilbert空间中的一组正交归一基矢，系数满足归一化条件

$$
\sum_{S_1, S_2, \cdots, S_N}\left|a_{S_1, S_2, \cdots, S_N}\right|^2=1
$$

所以，$N$ 个经典比特只能存储从 0 到 $\left(2^N-1\right)$ 之间的整数描述的信息，而 $N$ 个量子比特可用于存储 $\left(2^N-1\right)$ 个不受限制的复数描述的信息。

2）量子比特门
经典计算机电路由逻辑门和线路组成，逻辑门操控信息，把信息由一种状态换成另一种状态．例如，非门的操作为将 0 态和 1 态交换，这也是唯一的非平庸
单比特非门．类似地，可定义量子比特逻辑门．例如，定义单量子比特非门，可以把状态

$$
a|0\rangle+b|1\rangle=\binom{a}{b}
$$

变为

$$
a|1\rangle+b|0\rangle=\binom{b}{a}
$$

这是一个线性变换，也是量子物理学的一般性质和要求。因此，可定义量子非门为 $2 \times 2$ 矩阵 $X$ 表示，即

$$
X \equiv\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
$$

显然，此量子非门的输出为

$$
X\binom{a}{b}=\binom{b}{a}
$$

对于量子状态式（11．60），作用量子门前后，归一化条件式（11．61）均应该成立，于是要求

$$
\left[X\binom{a}{b}\right]^{+}\left[X\binom{a}{b}\right]=\left(\begin{array}{ll}
a^* & b^*
\end{array}\right) X^{+} X\binom{a}{b}=|a|^2+|b|^2=1
$$

上式要求所有代表量子门的矩阵具有么正性，即 $U^{+} U=I$（单位矩阵）．容易验证： $X^{+} X=I$ ．

类似非平庸的单量子比特门很多，例如 $Z$ 门

$$
Z \equiv\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)
$$

其变换是保持 $|0\rangle$ 不变，翻转 $|1\rangle$ 的符号使其变为 $-|1\rangle$ 。此外，阿达玛（Hadamard）门的定义为

$$
H \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right)
$$

它把 $|0\rangle$ 变到 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的中间态 $\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$ ，而把 $|1\rangle$ 变到 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的中间态 $\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$ ．
上述三个门是常用的单量子比特门，它们的功能总结如图 11.12 所示．

![图片](/uploads/2025-11/a57985.jpg)
 
 此外，还可以组合操作，例如 $Y$ 门：$Y=Z X=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$ ．
上述量子门可以用第 6 章定义的 $2 \times 2$ 泡利矩阵式（6．21）表示，即 $X=\sigma_x, Y=\mathrm{i} \sigma_y, Z=\sigma_z, H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sigma_x+\sigma_z\right)$ ，显然它们均为么正矩阵。

拓展到多量子比特，可组成多个与经典逻辑门对应的量子门，如与（AND）、或（OR）、异或（XOR）、与非（NAND）、或非（NOR）等逻辑门．

以受控非（controlled－NOT，简写为 CNOT）门为例，它有两个输人量子比特，分别是控制量子比特和目标量子比特，如图11．13所示，描述如下：上方线表示控制量子比特，下方线表示目标量子比特．如果将控制量子比特置为 0 ，那么目标量子比特不变；如果将控制量子比特置为 1 ，则目标量子比特翻转．

![图片](/uploads/2025-11/90f51b.jpg)
 
 受控非门的公式可表示为

另一种描述受控非门的方式是将其看作经典异或门的拓展，即看作 $|A, B\rangle \rightarrow|A, B \oplus A\rangle$ ，其中 $A 、 B$ 表示 0 或 $1, B \oplus A$ 表示模 2 加法，即 $0+0=0$ ， $1+0=0+1=1,1+1=0$ 。这正是异或门的作用结果，如图 11.13 所示。

两个量子比特（两个量子位）的态矢空间基矢可由一个量子比特（一个量子位）基矢的直积构造，即

$$
|00\rangle=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right),|01\rangle=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),|10\rangle=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right),|11\rangle=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
$$

在此组基矢下，受控非门的作用可用矩阵表示为
$$
U_{\mathrm{CN}}=\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$

显然，矩阵的第一列描述了对 $|00\rangle$ 的变换，依次是对其他基矢态 $|01\rangle$ 、 $|10\rangle$ 和 $|11\rangle$的变换，且上述矩阵是么正矩阵，即 $U_{\mathrm{CN}}^{+} U_{\mathrm{CN}}=1$ 。

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