最后更新: 2025-11-12 08:05 查看: 42 次纠错评论(0) 课件开VIP

固体磁性

磁学是一个具有悠久研究历史的领域．早在战国时期中国人就已发现了磁体的指极性，并利用这一原理制成了早期的指南针，当时称之为＂司南＂。在公元前 3 世纪战国末年的《韩非子•有度》中即有记载：＂故先王立司南，以端朝夕。＂公元1088年前后，中国人发现了地磁偏角现象。在北宋科学家沈括所著的《梦溪笔谈》中记载道：＂方家以磁石磨针锋，则能指南，然常微偏东，不全南也．＂

除此之外，中国古代还有许多有关物质磁性的发现、发明和应用，均居世界首位，可以说中国是磁学的故乡。

一般磁性固体是由具有磁性的原子或离子构成的，在第 6 章中，已介绍了原子中的电子具有自旋磁矩和轨道磁矩，从而耦合出原子总磁矩。然而某原子具有磁性，由它组成的固体不一定有磁性，原因是单个原子和固体（如晶体）中的同种原子的价电子运动是很不相同的．经典物理学对固体磁性的研究已取得许多成果，得出了一些固体磁性的经典公式，如固体磁化率公式、顺磁表达式等。但从本质上讲，固体磁性是量子效应。除此之外，原子还可受外加磁场感生而产生磁矩．前者是固体产生顺磁性的根源，后者是固体产生抗磁性的根源．
1．轨道磁矩、自旋磁矩和原子总磁矩
根据第 6 章的描述，对于单电子原子，电子轨道磁矩为

$$
\boldsymbol{\mu}_l=g_l\left(-\frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}}\right) \boldsymbol{L}, \quad g_l=1
$$

电子自旋磁矩为

$$
\boldsymbol{\mu}_s=g_s\left(-\frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}}\right) \boldsymbol{S}, \quad g_s=2
$$

其中，常数 $g_l 、 g_s$ 分别称为轨道和自旋磁矩的朗德因子．对于多电子原子，需先进行角动量耦合

$$
\boldsymbol{L}=\sum_i \boldsymbol{L}_i, \quad \boldsymbol{S}=\sum_i \boldsymbol{S}_i
$$

以上两式是对原子中每个电子 $i$ 求和；然后矢量相加得总角动量 $\boldsymbol{J}=\boldsymbol{L}+\boldsymbol{S}$ 。此时

$$
J^2=j(j+1) \hbar^2, \quad L^2=l(l+1) \hbar^2, \quad S^2=s(s+1) \hbar^2
$$

原子总磁矩为
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mu}_j=g_j\left(-\frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}}\right) \boldsymbol{J}, \quad g_j=1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2 j(j+1)} \\
& \left|\boldsymbol{\mu}_j\right|=g_j\left(\frac{e \hbar}{2 m_{\mathrm{e}}}\right) \sqrt{j(j+1)}=\sqrt{j(j+1)} g_j \mu_{\mathrm{B}} \\
& \mu_{j_z}=-m_j g_j \mu_{\mathrm{B}}, \quad m_j=j, j-1, \cdots,-(j-1),-j
\end{aligned}
$$

其中，常数 $g_j$ 是总角动量磁矩的朗德因子，$\mu_{\mathrm{B}}=\frac{e \hbar}{2 m_{\mathrm{e}}}$ 为玻尔磁子（见第 6 章）．若 $s =0$ ，则 $j=l$ ，原子磁矩全由电子轨道磁矩贡献，$g_j=1$ ；若 $l=0$ ，则 $j=s$ ，原子磁矩全由电子自旋磁矩贡献，$g_j=2$ 。

2．洪德定则
对于满壳层（或支壳层）的原子或离子，各种取向的 $\boldsymbol{L}_i 、 \boldsymbol{S}_i$ 均被占据，故 $\boldsymbol{L}=\boldsymbol{S}=\boldsymbol{J}=0$ ，无磁矩，属于非磁性原子。

在一般情况下，对于多电子原子，有洪德定则（见第7章）如下：
（1）在不违反泡利原理的前提下，$s$ 值最大的态能量最低；
（2）在满足定则（1）情况下，$l$ 值最大的原子态能量最低；
（3）对于电子填充数等于或小于半满壳层，$j=|l-s|$ ；对于电子填充数超过半满壳层，$j=l+s$ ．
例 11.4 求 $\mathrm{Cr}^{3+}$ 基态的磁矩。
解 已知 ${ }_{24} \mathrm{Cr}$ 原子的电子组态为 $3 \mathrm{~d}^5 4 \mathrm{~s}^1$ ，其三价离子的电子组态为 $3 \mathrm{~d}^3$ ，即在 3 d 壳层中，只有三个电子，不到半满。于是在基态时，根据洪德定则

$$
s=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}, \quad l=2+1+0=3, \quad j=|l-s|=\frac{3}{2}
$$

故基态为 ${ }^4 \mathrm{~F}_{3 / 2}$ 。此外，根据式（11．15），得 $g_j=\frac{2}{5}$ ，该离子磁矩为

$$
\left|\mu_j\right|=g_j \sqrt{j(j+1)} \mu_{\mathrm{B}}=0.77 \mu_{\mathrm{B}}
$$

3．原子的外磁场响应
在外磁场 $\boldsymbol{B}$ 中，多电子原子的哈密顿量为

$$
\hat{H}=\sum_i \frac{1}{2 m_{\mathrm{e}}}\left[\boldsymbol{p}_i+e \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}_i\right)\right]^2+V\left(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \cdots\right)
$$

其中，对多电子求和，$V\left(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \cdots\right)$ 是原子内部势函数，包括核势场以及电子与电子相互作用等； $\boldsymbol{A}$ 为磁场的矢势， $\boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A}$ ．
设 $\boldsymbol{B}$ 沿 $z$ 轴方向，即 $\boldsymbol{B}=\left(0,0, B_z\right), B_z$ 是常数，即均匀场．于是

$$
\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}\left(-B_z y, B_z x, 0\right)
$$

所以，利用 $(\hat{\boldsymbol{p}} \cdot \boldsymbol{A})=0$ ，原子哈密顿量式（11．16）可表示为

$$
\begin{aligned}
\hat{H} & =\sum_i\left[-\frac{\hbar^2}{2 m_{\mathrm{e}}} \nabla_i^2+\frac{e \hbar}{m_{\mathrm{e}}} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}_i\right) \cdot \nabla_i+\frac{e^2}{2 m_{\mathrm{e}}} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}_i\right) \cdot \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}_i\right)\right]+V \\
& =\sum_i\left\{-\frac{\hbar^2}{2 m_{\mathrm{e}}} \nabla_i^2+\frac{e B_z}{2 m_{\mathrm{e}}}\left[\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\left(x_i \frac{\partial}{\partial y_i}-y_i \frac{\partial}{\partial x_i}\right)\right]+\frac{e^2 B_z^2}{8 m_{\mathrm{e}}}\left(x_i^2+y_i^2\right)\right\}+V \\
& =\hat{H}_0+\frac{e B_z}{2 m_{\mathrm{e}}} \hat{L}_z+\frac{e^2 B_z^2}{8 m_{\mathrm{e}}} \sum_i\left(x_i^2+y_i^2\right) \\
& =\hat{H}_0+\hat{H}^{\prime}
\end{aligned}
$$

上式推导利用了 $\sum_i\left(\hat{L}_z\right)_i=\hat{L}_z ; \hat{H}_0=\sum_i-\frac{\hbar^2}{2 m_{\mathrm{e}}} \nabla_i^2+V$ 是无外场下的哈密顿量。
将式（11．18）含 $B_z$ 的各项作为小量 $\hat{H}^{\prime}$ ，并假设 $\hat{H}_0$ 近似为中心力场哈密顿，则微扰后得基态一级能量为

$$
\Delta E=\frac{e B_z}{2 m_{\mathrm{e}}}\left\langle l, m_l\right| \hat{L}_z\left|l, m_l\right\rangle+\frac{e^2 B_z^2}{8 m_{\mathrm{e}}}\left\langle l, m_l\right| \sum_i\left(x_i^2+y_i^2\right)\left|l, m_l\right\rangle
$$

根据热力学公式，在外场下，原子磁矩为 $\mu_{\mathrm{B}}$ 外 $=-\frac{\partial}{\partial B_z}(\Delta E)$ ，代人上式得
第一项：$\Delta E_1=\frac{e B_z}{2 m_{\mathrm{e}}} m_l \hbar=m_l \mu_{\mathrm{B}} B_z$ ，即

$$
\mu_z^{(1)}=-m_l \mu_{\mathrm{B}}
$$

说明原子固有轨道磁矩，与外场无关．
第二项：$\Delta E_2=\frac{e^2 B_z^2}{8 m_{\mathrm{e}}}\left\langle l, m_l\right| \sum_i\left(x_i^2+y_i^2\right)\left|l, m_l\right\rangle$ ，是正能量，总使系统能量增加．所以

$$
\mu_z^{(2)}=-\frac{\partial \Delta E_2}{\partial B_z}=-\frac{e^2}{4 m_{\mathrm{e}}}\left\langle l, m_l\right| \sum_i\left(x_i^2+y_i^2\right)\left|l, m_l\right\rangle B_z
$$

上式正比于外磁场，是感生磁场；负号表示感生磁场与外场相反，导致抗磁性现象．
1）抗磁性
具有饱和电子结构的原子或离子构成的固体（如惰性气体原子组成的晶体、具有惰性气体电子结构的离子晶体、靠电子配对结合成的共价键晶体等），没有固有磁矩．无固有磁矩原子可在外磁场中产生如下感生磁矩：

$$
\boldsymbol{\mu}_j=-\frac{e^2}{4 m_{\mathrm{e}}}\left\langle l, m_l\right| \sum_i\left(x_i^2+y_i^2\right)\left|l, m_l\right\rangle \boldsymbol{B}
$$

式中，$j$ 代表构成晶体的原子或离子种类；$i$ 代表第 $j$ 种原子或离子中的电子数．根据中心力场对称性，有

$$
\begin{gathered}
\sum_i x_i^2=\sum_i y_i^2=\sum_i z_i^2=\frac{1}{3} \sum_i r_i^2 \\
\boldsymbol{\mu}_j=-\frac{e^2}{6 m_{\mathrm{e}}} \sum_i\left\langle r_i^2\right\rangle \boldsymbol{B}=-\frac{e^2}{6 m_{\mathrm{e}}} Z_j\left\langle r_i^2\right\rangle \boldsymbol{B}
\end{gathered}
$$

其中，$Z_j 、\left\langle r_i^2\right\rangle$ 分别为第 $j$ 种原子或离子的电子数和平均平方半径．磁化率为

$$
\chi_j=\frac{\mu_0 \mu_j}{B}=-\frac{\mu_0 e^2}{6 m_{\mathrm{e}}} Z_j\left\langle r_i^2\right\rangle
$$

晶体磁化率为

$$
\chi=\sum_j n_j \chi_j
$$

其中，$n_j$ 为单位体积中第 $j$ 种原子或离子数目．摩尔磁化率为

$$
\chi_{\mathrm{M}}=N_{\mathrm{A}} \sum_j \chi_j
$$

其中，$N_{\mathrm{A}}$ 为阿伏伽德罗常量．

2）顺磁性
第 6 章讲述了单个原子磁矩的求解方法，原则上可求得所有原子基态的磁矩 （如银原子磁矩等）．但是当原子组成晶体时，每个原子的外层价电子可以像电子气体那样在晶体中自由流动，离子之间也可共享一个或多个电子，离子周围的电子还可相互作用等。因此，当原子组成晶体时，其磁矩要发生变化。但是对于内壳层没有被电子填满的原子或离子（如具有部分填充 d 壳层的过渡金属或具有部分填充 f 壳层的稀土元素等），它们便具有永久磁矩。在含有此类元素的物质中，若它们之间的相互作用很弱而可以被忽略，则在外磁场中，各原子或离子磁矩独立运动，磁化强度方向与外磁场方向相同，表现为顺磁性．

在自由空间中

$$
\boldsymbol{\mu}_j=-g_j\left(\frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}}\right) \boldsymbol{J}, \quad\left|\boldsymbol{\mu}_j\right|=\sqrt{j(j+1)} g_j \mu_{\mathrm{B}}
$$

在外磁场 $\boldsymbol{B}$ 中能级发生塞曼分裂，则有

$$
U=-\boldsymbol{\mu}_j \cdot \boldsymbol{B}=g_j \mu_{\mathrm{B}} m_j B, \quad m_j=j, j-1, j-2, \cdots,-j
$$

在温度为 $T$ 时，原子磁矩统计平均值为

![图片](/uploads/2025-11/dd9216.jpg)
 
 ![图片](/uploads/2025-11/7eafed.jpg)
 
 此时

$$
B_j(x) \approx \frac{j+1}{j} \frac{x}{3}
$$

于是，根据式（11．24），得摩尔磁化强度为

$$
M=\frac{N_{\mathrm{A}} j(j+1)}{3 k_{\mathrm{B}} T}\left(g_j \mu_{\mathrm{B}}\right)^2 B
$$

摩尔磁化率为

$$
\chi=\frac{\mu_0 M}{B}=\frac{\mu_0 N_{\mathrm{A}} j(j+1)\left(g_j \mu_{\mathrm{B}}\right)^2}{3 k_{\mathrm{B}} T} \propto \frac{1}{T}
$$

式（11．26）即为居里定律．
（b）低温、强磁场，即 $x \gg 1$ 。
此时，可取 $B_j(x) \approx 1$ ，由式（11．24）得饱和磁化强度为

$$
M_{\text {饱和 }}=N_{\mathrm{A}} j g_j \mu_{\mathrm{B}}
$$

即当外磁场足够强、温度足够低时，顺磁物质中所有永久磁矩均有序排列，趋于饱和．然而，由于空间量子化

$$
j g_j \mu_{\mathrm{B}}<[j(j+1)]^{1 / 2} g_j \mu_{\mathrm{B}}
$$

即原子的饱和磁矩永远小于原子固有磁矩，$j$ 越小，此差别相对越大．这是量子效应。由式（11．15）可知，原子磁矩永远不可能完全沿外磁场方向排列。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：化学键

下一篇：铁磁性

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)