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空间向量的平行与向量共面的判定

## 空间向量的平行
对任意两个空间向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}(\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}), \boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ 的充要条件是存在实数 $\lambda$ ，使

$$
\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b} .
$$

考虑空间两个向量：$a$与$l$，如果他们平行，在 [向量基本概念](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1346) 里我们说过，向量可以自由的平移，那么可以把向量$a$的起点和$l$向量的起点放在一块，此时，只要缩放$\lambda$倍，就可以让$a$和$l$模一样长，参考下图

![图片](/uploads/2025-11/2a24b1.jpg){width=300px}
 
 相反，假设$a$不与$l$平行，参考下图，那么$a$与$l$之间就有夹角$0<\theta<\pi$， 因为两个向量相等的一个必要条件是方向相同，而$a$ 与$l$ 有夹角，这就导致他们方向永远不可能相同， 进而 $\boldsymbol{a} \ne \lambda \boldsymbol{b} $。 
 
  ![图片](/uploads/2025-11/177393.jpg)
 
 我们把与向量 $\boldsymbol{a}$ 平行的非零向量称为直线 $l$ 的**方向向量** ．这样，直线 $l$ 上任意一点都可以由直线 $l$ 上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定．由此我们得到第一个定理：

> 设向量 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ ，那么向量 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{a}$ 的充分必要条件是：存在唯一的实数 $\lambda$ ，使 $b=\lambda a$ ．

因为每个向量可以使用坐标轴表示，进而我们得到

> **两个向量平行的充要条件是对应坐标分量成正比**

`例` 已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2,5),\boldsymbol{b}=(3,m,n)$ 且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$， 求$m,n$

解：两个向量平行，对应坐标成比例，所以
$$
\frac{1}{3}=\frac{2}{m}=\frac{5}{n}
$$

所以，$m=6,n=15$

## 向量共面

如图 1．1－8，如果表示向量 $\boldsymbol{a}$ 的有向线段 $\overrightarrow{O A}$ 所在的直线 $O A$ 与直线 $l$ 平行或重合，那么称向量 $\boldsymbol{a}$ 平行于直线 $l$ ．如果直线 $O A$ 平行于平面 $\alpha$ 或在平面 $\alpha$ 内，那么称向量 $\boldsymbol{a}$ 平行于平面 $\alpha$ ．平行于同一个平面的向量，叫做**共面向量**

![图片](/uploads/2025-11/225abd.jpg){width=300px}

我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情况下三个空间向量共面呢？

> **分析**：对平面内任意两个不共线向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，通过平移，可以把他们的起点放在原点，然后由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量 $\boldsymbol{p}$ 可以写成 $\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}$ ，其中 $(x, y)$ 是唯一确定的有序实数对．对两个不共线的空间向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，能否把平面上的结论给移到空间向量上呢？答案是肯定的。

可以发现

**定理1** 如果两个向量 $\boldsymbol{a}, \

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