最后更新: 2025-11-16 10:36 查看: 47 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

空间向量的内积(数量积)

## 向量的内积
已知两个非零向量，如果他们异面，总可以通过平移让他们的起点重合，因此任何不重合的两个向量都会共面，设有向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$（图 3．24），作 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \angle A O B$ 就叫做 $\vec{a}$与 $\vec{b}$ 之间的夹角，记作 $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle,\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$ 也就是向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 之间的方向差．

![图片](/uploads/2025-11/fa55ab.jpg)

我们规定 $0 \leq\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle \leq \pi$ ，在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且 $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\langle\vec{b}, \vec{a}\rangle$ 。

如果 $\langle\vec{b}, \vec{a}\rangle=\frac{\pi}{2}$ ，那么称 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 互相**垂直**，并记作 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ．由于零向量的方向是不确定的，所以零向量与任一向量的夹角也是不确定的，为了以后讨论问题方便，我们规定零向量与任一向量平行或垂直．

在平面几何中，一个重要的课题就是讨论三角形中的边角关系，其中最要紧的是余弦定理，如在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 的对边长分别用 $a 、 b 、 c$ 表示，则

$$
c^2=a^2+b^2-2 a b \cos \angle C
$$

![图片](/uploads/2025-11/9ee157.jpg){width=300px}
 
 
 若设 $\overrightarrow{B C}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b}$ ，则

$$
\overrightarrow{B A}=\vec{a}+\vec{b}, \quad|\vec{a}|=a, \quad|\vec{b}|=b, \quad|\vec{a}+\vec{b}|=c, \quad\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\pi-\angle C
$$

上式换用向量的写法即可写为

$$
|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle
$$

或

$$
|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{1}{2}\left\{|\vec{a}+\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\right\}
$$

$|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$ 是一个极为重要的量，这节我们要对它进行详细的讨论．下面，我们先给它一个名称．

### 内积(数量积)的定义
**定义**：$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的内积通常记为 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ，他的值是
$$
\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle
$$

> **即：两个向量的内积等于他们的模长相乘再乘以他们的夹角余弦。**

## 向量内积的几何意义

设 $\overrightarrow{B C}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b}$（图 3．26），过 $B$ 点作 $B B_1$ 垂直于直线 $O A$ 于 $B_1$点，容易推知

$$
O B_1=|\vec{b}| \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle
$$

$|\vec{b}| \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$ ，叫做 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的**正投影分量** 简称**投影**．当 $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$ 是个锐角时，它是个正值，当 $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{\pi}{2}$ 时，它等于 0 ，当 $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$ 是个钝角时，它是个负值．由此我们可知内积的几何意义是：**$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的内积等于 $\vec{a}$ 的长度与 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的正投影分量的乘积。**

![图片](/uploads/2025-11/e3e82b.jpg)
 
 
 1．如果 $\vec{e}$ 是单位向量(即模长为1)，则

$$
\begin{aligned}
\vec{e} \cdot \vec{a}=\vec{a} \cdot \vec{e} & =|\vec{a}|\langle\vec{a}, \vec{e}\rangle \\
& =\vec{a} \text { 在 } \vec{e} \text { 方向上的正投影分量 }
\end{aligned}
$$

2．$\vec{a} \perp \vec{b} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b}=0$
3．$\vec{a} \cdot \vec{a}=|\vec{a}|^2$ 或 $|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$
4． $\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\sqrt{\vec{a} \cdot

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