最后更新: 2025-11-16 12:03 查看: 11 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

空间向量外积

## 空间坐标系的右手系法则

参考下图，空间坐标的右手系法则：右手握住 $z$ 轴，大拇指指向$z$的正向，当右手的四个指头从 $x$ 轴的正向以 $90^{\circ}$ 角度转向 $y$ 轴正向时，此时构成的坐标系称作右手系坐标系。三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，称为 $O x y z$ **直角坐标系**，点 $O$ 称为坐标**原点**．

![图片](/uploads/2025-11/d44778.jpg){width=300px}

## 向量的外积

**向量的外积定义**：已知向量 $\vec{c} =\vec{a} \times \vec{b}$ 其结果$\vec{c}$ 满足下列三个条件：

1．$|\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$ ，这就是说 $\vec{c}$ 的长度在数量上等于以 $a, b$ 为两相邻边向量的平行四边形的面积；
2．向量 $\vec{c}$ 同时垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ；
3．$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 构成右手系．
那么，向量 $\vec{c}$ 就叫做 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的外积

向量外积通常画成下面方式：

![图片](/uploads/2025-11/e93db8.jpg)
 
 如果把 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的单位向量记为 $\vec{e}$ ，则

$$
\vec{a} \times \vec{b}=(|\vec{a}||\vec{b}| \sin \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle) \cdot \vec{e}
$$

其中：$\vec{e} \cdot \vec{a}=0, \vec{e} \cdot \vec{b}=0, \vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ 构成右手系．
由上述定义，我们容易推知

$$
\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0} \quad \Longleftrightarrow \vec{a} / / \vec{b}
$$

### 向量外积的性质

向量的外积运算最显著的特点之一是它不满足交换律，即

$$
\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}
$$

由外积的定义，$\vec{a} \times \vec{b}$ 与 $\vec{b} \times \vec{a}$ 它们的长度相等而方向相反，这就是说

$$
\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}
$$

这种性质通常叫做外积的**斜对称性**．
向量的外积对数乘满足结合律，对向量加法满足分配律，即

$$
\begin{gathered}
(

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