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直线的向量方程与定比分点公式

## 平面上直线的向量方程

给定空间任意两点 $A 、 B$（图4．1），由平行向量基本定理可知，对空间中一点 $P$ 与 $A 、 B$ 两点共线的充要条件是存在一实数 $t$ ，使

$$
\overrightarrow{A P}=t \overrightarrow{A B}
$$

![图片](/uploads/2025-11/fe1d30.jpg){width=200px}

对空间任一点 $O$ ，这个条件还可写为

$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A}=t(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}) \\
\overrightarrow{O P}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B} ...(4.1)
\end{gathered}
$$

这就是说，如果 $P$ 点在直线 $A B$ 上，则一定存在实数 $t$ 使（4．1）式成立，反之，任给一实数 $t$ ，由等式（4．1）所确定的 $P$ 点也一定在直线 $A B$ 上，方程（4．1）通常叫做直线 $A B$ 的**向量方程**．其中**参数** $t$ 的几何意义是，$|t|=|\overrightarrow{A P}|:|\overrightarrow{A B}|$ ，当 $P$ 点在射线 $A B$ 上，$t \geq 0$ ．当 $P$ 在射线 $A B$ 的反向延长线上，$t<0$ ．

由直线 $A B$ 的向量方程（4．1）可知，如果

$$
\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}
$$

那么点 $P$ 在直线 $A B$ 上的充要条件是 $x+y=1$

`例`已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个线性无关的向量， $\overrightarrow{O A}=\alpha \vec{a}, \overrightarrow{O B}=\beta \vec{b}(\alpha \neq 0, \beta \neq 0)$ ， $\overrightarrow{O C}=x \vec{a}+y \vec{b}$（图 4．2），则 $A 、 B 、 C$ 三点共线的充要条件是

$$
\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=1
$$

![图片](/uploads/2025-11/fdb2b6.jpg){width=250px}
 
 证明：由直线的向量方程可知，点 $C$ 在直线 $A B$ 上的充要条件是存在实数 $t$ 使

$$
\overrightarrow{O C}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B}
$$

即

$$
\overrightarrow{O C}=(1-t) \alpha \vec{a}+t \beta \vec{b}
$$

但已知 $\overrightarrow{O C}=x \vec{a}+y \vec{b}$ 且 $\vec{a} \nmid \vec{b}$ ，所以

$$
x=(1-t) \alpha, \quad y=t \beta
$$

消去 $t$ 则可得 $A 、 B 、 C$ 三点共线的充要条件为

$$
\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=1
$$

`例` 如图 4．3，设 $O 、 A 、 B$ 三点不共线， $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O A_1}=\alpha_1 \vec{a}$ ， $\overrightarrow{O A_2}=\alpha_2 \vec{a}, \overrightarrow{O B_1}=\beta_1 \vec{b}, \overrightarrow{O B_2}=\beta_2 \vec{b}$ 且 $\alpha_1 、 \alpha_2 、 \beta_1 、 \beta_2$ 都不为零，又设 $A_1 B_2$与 $A_2 B_1$ 交于 $C$ 点，试以 $\vec{a}, \vec{b}, \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ ，表示 $\vec{c}=\overrightarrow{O C}$

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