最后更新: 2025-11-16 19:41 查看: 29 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

空间向量平行与垂直★★★★★

## 空间两个向量平行

如图 1.4-8设 $\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2$ 分别是直线 $l_1, l_2$ 的方向向量．由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行．所以

$$
\boxed{
l_1 / / l_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 / / \boldsymbol{u}_2 \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbf{R} \text {, 使得 } \boldsymbol{u}_1=\lambda \boldsymbol{u}_2 \text {. }
}
$$

![图片](/uploads/2025-11/52ce28.jpg){width=500px}

进一步，如果写成坐标方式，即 $\boldsymbol{a}=(x_1,y_1,z_1)$, $\boldsymbol{b}=(x_2,y_2,z_2)$ 则有

$$
\boxed{
\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2} ...\text{(向量平行)}
}
$$

即**两个向量平行，则对应坐标分量成比例**。

上面公式里，如果分母为零，则应理解为分子也为零。

**推理**：如果 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right), C\left(x_3, y_3\right)$ 是坐标平面上三个不同的点，那么 $A 、 B 、 C$ 三点共线的一个充要条件是

$$
\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_1}
$$

`例`已知 $\vec{a}=(3, y), \vec{b}=(6,4)$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ．求 $y$ 值．
解：因为 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，所以

$$
\frac{6}{3}=\frac{4}{y}
$$

解之得 $y=2$ ．

`例` 已知空间三点 $A(-2,0,2), B(-1,1,2), C(-3,0,4)$ ，设 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}$ ．
（1）设向量 $\vec{c}=\left(-\frac{3}{2},-1,1\right)$ ，试判断 $2 \vec{a}-\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 是否平行？
（2）若 $k \vec{a}+\vec{b}$ 与 $k \vec{a}-2 \vec{b}$ 互相垂直，求 $k$ ．
解（1）因为 $a=\overrightarrow{A B}=(1,1,0), b=\overrightarrow{A C}=(-1,0,2)$ ，所以 $2 a-b=(3,2,-2)$ ，又 $c=\left(-\frac{3}{2},-1,1\right)$ ，所以 $2 a-b=-2 c$ ，所以 $(2 a-b) / / c$ ．
（2）因为 $a=\overrightarrow{A B}=(1,1,0), b=\overrightarrow{A C}=(-1,0,2)$ ，所以 $k a+b=(k-1, k, 2), k a-2 b=(k+2, k,-4)$ ．又因为 $(k a+b) \perp(k a-2 b)$ ，所以 $(k a+b) \cdot(k a-2 b)=0$ ，
即 $(k-1, k, 2) \cdot(k+2, k,-4)=2 k^2+k-10=0$ ．解得 $k=2$ 或 $-\frac{5}{2}$ ．

`例` 如图 1．4－12，在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A B=4, B C=3, C C_1=2$ ．线段 $B_1 C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $A_1 P / /$ 平面 $A C D_1$ ？

![图片](/uploads/2025-11/4c8c70.jpg)

分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量 $\overrightarrow{B_1 C}, \overrightarrow{A_1 P}$ ，以及平面 $A C D_1$ 的法向量 $\boldsymbol{n}$ 等都可以用坐标表示。如果点 $P$ 存在，那么就有 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A_1 P}=0$ ，由此通过向量的坐标运算可得结果．

解：以 $D$ 为原点，$D A, D C, D D_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴，建立如图 1．4－12 所示的空间直角坐标系．因为 $A$ ，
 
$C, D_1$ 的坐标分别为 $(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2)$ ，所以

$$
\overrightarrow{A C}=(-3,4,0), \overrightarrow{A D_1}=(-3,0,2) .
$$

设 $\boldsymbol{n}=(x, y, z)$ 是平面 $A C D_1$ 的法向量，则 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A C}=0, \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A D_1}=0$ ，即

所以

$$
\begin{gathered}
\left\{\begin{array}{c}
-3 x+4 y=0, \\
-3 x+2 z=0 .
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{c}
x=\frac{2}{3} z, \\
y=\frac{1}{2} z .
\end{array}\right.
\end{gathered}
$$

取 $z=6$ ，则 $x=4, y=3$ ．所以， $\boldsymbol{n}=(4,3,6)$ 是平面 $A C D_1$ 的一个法向量．
由 $A_1, C, B_1$ 的坐标分别为 $(3,0,2),(0,4,0),(3,4,2)$ ，得 $\overrightarrow{A_1 B_1}=(0$ ， $4,0), \overrightarrow{B_1 C}=(-3,0,-2)$ ．设点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B_1 P}=\lambda \overrightarrow{B_1 C}(0 \leqslant \lambda \leqslant 1)$ ，则 $\overrightarrow{B_1 P}=(-3 \

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