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实变函数论
第二章 勒贝格(Lebesgue)测度
勒贝格测度为什么使用开集而不使用闭集
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更新:
2025-11-20 21:20
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勒贝格测度为什么使用开集而不使用闭集
## 勒贝格测度为什么使用开集而不使用闭集 这是一个非常深刻且关键的问题!在勒贝格外测度的定义中,使用开区间覆盖而不是闭区间,绝不是随意的选择,而是基于两个核心的、至关重要的数学需求:**1. 确保“外测度”是一种“外”的度量;2. 为后续的可测集理论奠定坚实的基础。** 下面我们来详细拆解这两个原因。 ### 原因一:确保“从外部覆盖”的纯粹性(拓扑原因) “外测度”这个名字本身就揭示了它的核心思想:**从集合的外部来测量它的大小。** 开区间是实现这一思想最完美的工具。 * **开区间的特性:** 一个开区间 `(a, b)` 不包含它的两个端点。这意味着,当你用开区间去覆盖一个点集时,这个覆盖是“宽松的”,它允许集合和覆盖之间有一点点“空隙”。这是一种真正的、无争议的“从外部包裹”。 * **比喻:** 就像用一张比物体本身稍大的、边缘不粘黏的包装纸去包一个礼物。包装纸不会紧贴在礼物上,而是松散地包裹着它。 * **闭区间的问题:** 一个闭区间 `[a, b]` 包含了它的端点。如果一个集合的边界点非常怪异,用闭区间覆盖可能会引发一些不必要的争议。这个闭区间到底是算作“从外部”覆盖,还是因为它包含了边界点而算是“恰好”覆盖?这会让“外部”的定义变得模糊。 * **关键点:** 使用开区间可以**避免任何关于边界点的争论**,确保了覆盖的“外部”属性是绝对的、无歧义的。 ### 原因二:为了获得“可数子可加性”(技术原因) 这是最根本、最重要的数学原因。开区间拥有一个闭区间所不具备的优良拓扑性质:**开集的可数并仍然是开集,并且任何开集都可以表示为可数个互不相交的开区间的并。** 当我们定义外测度时,我们希望它对任何集合 `E
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