最后更新: 2025-11-22 16:26 查看: 18 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

含参变量的广义积分

## 含参变量的广义积分

1．含参变量的无穷积分
设二元函数 $f(x, y)$ 在 $a \leqslant x<+\infty, c \leqslant y \leqslant d$ 上有定义．若对 $[c, d]$ 中任意取定的一个 $y$ ，无穷积分

$$
\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x
$$

都收敛（这时称无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ 在 $[c, d]$ 上点点收敛），这样就在 $[c, d]$ 上确定了一个函数

$$
g(y)=\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x, \quad c \leqslant y \leqslant d,
$$

1：式称为含参变量的无穷积分．
与含参变量的正常积分相比，讨论上述含参变量的无穷积分对参数的连续性、可积性及可微性等问题时，情况要复杂得多。我们先看一个例子：

$$
g(\alpha)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x
$$

显然，当 $\alpha=0$ 时上述积分为零，也即 $g(0)=0$ ．但对任意 $\alpha \neq 0$ ，很容易看出

$$
g(\alpha)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{\alpha x} \mathrm{~d} \alpha x=\operatorname{sgn} \alpha \cdot \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t .
$$

以后我们将计算得出

$$
\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{2} .
$$

这就是说，$g(\alpha)$ 是一个在点 $\alpha=0$ 处不连续的函数．但是，被积函数是 $\alpha$ 的连续函数。

为什么会有这种现象呢？其原因在于无穷积分的收敛有一个一致性的问题．不一致收敛的无穷积分有可能导致这种现象，正像函数项级数的情况那样：非一致收敛的函数项级数，其和函数有可能不连续，尽管其每一项都是连续的．

现在我们来讨论含参变量无穷积分的一致收敛的概念．
我们说，含参变量的无穷积分

$$
g(y)=\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x
$$

在一点 $y=y_0$ 收敛，是指极限 $\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_a^A f\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x$ 存在．我们将极限 $\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_a^A f\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x$ 的值记做 $\int_a^{+\infty} f\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x=g\left(y_0\right)$ 。用 $\varepsilon-N$ 的语言来叙述，上述无穷积分在 $y=y_0$ 收敛是指：对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，都存在一个 $N$ ，使得当 $A>N$ 时，

$$
\left|\int_a^A f\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x-g\left(y_0\right)\right|<\varepsilon .
$$

一般说来，这里 $N$ 不仅依赖于 $\varepsilon$ ，而且与 $y_0$ 有关。
当我们不只考虑一点 $y=y_0$ ，而是考虑 $y$ 在一个区间 $Y$ 上变动时，能不能对任意给定的 $\varepsilon>0$ ，取到一个不依赖于参变量 $y$ 的 $N$ ，使得当 $A>N$ 时不等式

$$
\left|\int_a^A f(x, y) \mathrm{d} x-g(y)\right|<\varepsilon
$$

对于一切 $y \in Y$ 都成立呢？
为了更具体地理解这一问题，我们先看两个例子。
我们讨论含参变量的无穷积分

$$
I(\alpha)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-(\alpha+1) x} \sin x \mathrm{~d} x
$$

其中 $\alpha$ 在 $[0,1]$ 中取值．显然，对于任意的 $\alpha \in[0,1]$ 上述积分都收敛，并且我们有下列估计式：当 $\alpha \in[0,1]$ 时，

$$
\begin{gathered}
\left|\int_0^A \mathrm{e}^{-(\alpha+1) x} \sin x \mathrm{~d} x-I(\alpha)\right|=\left|\int_A^{+\infty} \mathrm{e}^{-(\alpha+1) x} \sin x \mathrm{~d} x\right| \\
\quad \leqslant \int_A^{+\infty}\left|\mathrm{e}^{-(\alpha+1) x} \sin x\right| \mathrm{d} x \leqslant \int_A^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{-A}
\end{gathered}
$$

因此，对于任意的 $\varepsilon>0$（不妨设 $\varepsilon<1$ ），取 $N=1+\ln \frac{1}{\varepsilon}$ ，那么当 $A>N$ 时不等式

$$
\left|\int_0^A \mathrm{e}^{-(\alpha+1) x} \sin x \mathrm{~d} x-I(\alpha)\right|<\varepsilon
$$

对于一切 $\alpha \in[0,1]$ 都成立。这里的 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$ ，而与参变量 $\alpha$ 无关。因此，上述问题的回答对这个例子而言是肯定的。下面我们来看一个回答是否定的例子。

我们考虑无穷积分

$$
g(t)=\int_0^{+\infty} t^2 \mathrm{e}^{-t^2 x} \mathrm{~d} x
$$

其中 $t \in(0,1)$ ．显然，对于任意的 $t \in(0,1)$ 上述积分均收敛．现在

$$
\left|\int_0^A t^2 \mathrm{e}^{-t^2 x} \mathrm{~d} x-g(t)\right|=\left|\int_A^{+\infty} t^2 \mathrm{e}^{-t^2 x} \mathrm{~d} x\right|=\mathrm{e}^{-t^2 A},
$$

当 $t=\frac{1}{\sqrt{A}}$ 时上式等于 $\mathrm{e}^{-1}$ ．因此，只要取 $\varepsilon<\mathrm{e}^{-1}$ 时，不论 $N$ 取多么大，对于 $A>N$ ，总存在点 $t_0=\frac{1}{\sqrt{A}} \in(0,1)$ ，使

$$
\left|\int_0^A t_0^2 \mathrm{e}^{-t^2 x} \mathrm{~d} x-g\left(t_0\right)\right|=\mathrm{e}^{-1}>\varepsilon
$$

这也就是说，不存在公共的 $N$ ，使当 $A>N$ 时，$\left|\int_0^A t^2 \mathrm{e}^{-t^2 x} \mathrm{~d} x-g(t)\right|<\varepsilon$ 对一切 $t \in(0,1)$ 成立。

有了上述两个具体例子，我们就可以引入关于含参变量无穷积分一致收敛的概念了。

定义 设无穷积分

$$
g(y)=\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x
$$

对于区间 $Y$ 中的一切 $y$ 都收敛（这里 $Y$ 可以是开区间，闭区间，或半开半闭的区间；也可以是无穷区间）。若对任给 $\varepsilon>0$ ，存在一个与 $y$ 无关的实数
$N>a$ ，使当 $A>N$ 时，对一切 $y \in Y$ ，都有

$$
\left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon,
$$

则称含参变量的无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ 在 $Y$ 上一致收敛。
现在，我们讨论一致收敛的几何意义。
由于定义中的不等式即

$$
\left|\int_a^A f(x, y) \mathrm{d} x-g(y)\right|<\varepsilon,
$$

故含参变量的无穷积分在 $[c, d]$ 上一致收敛的几何意义是：对任给 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $N>a$ ，使当 $A>N$ 时，整条曲线

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