最后更新: 2026-01-12 15:06 查看: 14 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

事件的独立性★★★★★

## 核心思想：什么是独立？

直观上，**两个事件是独立的**，意味着**一个事件的发生与否，不会影响另一个事件发生的可能性**。

换句话说，知道其中一个事件发生了，并不能给你任何关于另一个事件是否会发生的信息。

**经典例子：**
- 抛一枚硬币两次。第一次抛出正面（事件A）和第二次抛出正面（事件B）是相互独立的。第一次的结果不会影响第二次。
- 从一副洗匀的扑克牌中，第一次抽到红桃A（事件A）和第二次再抽一张牌（事件B）通常不是独立的，因为第一次抽走后牌堆变了。但如果是有放回地抽取，那么两次抽取就是独立的。

---

##  数学定义与公式

设 A 和 B 是两个事件，如果满足：
$$
\boxed{
P(AB) = P(A) \cdot P(B)
}
$$
则称事件 A 与事件 B **相互独立**。

**关键点：**
- 这个公式是判断独立性的**唯一数学标准**。
- 判断两个事件是否独立，不能靠感觉，只能靠验证上述公式。

### 从条件概率的角度理解

由条件概率的定义 $P(A|B) = \frac{P(A  B)}{P(B)}$ 可知：

如果 A 与 B 独立，则 $P(A  B) = P(A)P(B)$，代入上式可得：

$$
P(A|B) = \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A)  
$$

即

$$
P(A|B) =  P(A)  
$$

**解释：** 上面这个等式的意思是：在B发生的情况下发生A的概率等于A的概率。言外之意就是，B 不论发生或者不发生，A的概率不变，更通俗的理解，A与B的发生没有任何关系，这就是A,B独立的意思。

同理，$P(B|A) = P(B)$。

##  独立性、互斥与对立的关系

这是一个常见的混淆点，必须澄清：

**独立的意思是**：A,B两个事件没有任何关系，数学表达是
$P(A|B) = \frac{P(A  B)}{P(B)}$， 比如测量A,B两个人的身高，测量A的身高不影响测量B的身高，所有，A,B是两个独立事件。

**互斥的意思是**：A,B的两个交集为空集。比如，产品分为“正品、次品和废品”，那么检测A的结果，他只能属于这3个结果中的一个，一个产品不可能同时即是正品又是废品。

**对立的意思是**一个事件被分为二元关系，比如“合格和不合格”， 核心点是：一个事件要么合格要么不合格（也就是互斥），同时合格和不合格的“并”是整个样本空间。

## 独立和对立
互为对立的两个事件是非常特殊的一种．如果事件A与事件B相互独立，那么他们的对立事件是什么关系？

对于 $A$ 与 $\bar{B}$ ，因为 $A=A B \cup A \bar{B}$ ，而且 $A B$ 与 $A \bar{B}$ 互斥，所以

$$
\begin{aligned}
P(A) & =P(A B \cup A \bar{B})=P(A B)+P(A \bar{B}) \\
& =P(A) P(B)+P(A \bar{B})
\end{aligned}
$$

所以

$$
\begin{aligned}
P(A \bar{B}) & =P(A)-P(A) P(B) \\
& =P(A)(1-P(B))=P(A) P(\bar{B}) .
\end{aligned}
$$

由事件的独立性定义，$\Lambda$ 与 $\bar{B}$ 相互独立．
类似地，可以证明事件 $\bar{A}$ 与 $B, \bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也都相互独立．

即： 假设 $A,B$是对立事件

$$
\begin{aligned}
P(AB)=P(A)P(B)  \\
P(A \bar{B})=P(A)P(\bar{B})  \\
P(\bar{A}B)=P(\bar{A})P({B})  \\
P(\bar{A} \bar{B})=P(\bar{A})P(\bar{B})  \\
\end{aligned}
$$

> 互斥事件是两个事件没有交集。对立事件是整个样本空间一分为而，而独立事件是两个事件不互相影响。 这3个概念非常相似，要仔细区分。

### 通过韦恩图理解
`例` 假设 $A, B, C$ 为随机事件，则下面结论正确的是 
A．若 A 与 B 互不相容，B 与 C 互不相容，则 A 与 C 互不相容．
B．若 A 与 B 独立， B 与 C 独立，则 A 与 C 独立．
C．若 A 包含 $\mathrm{B}, \mathrm{B}$ 包含 C ，则 A 包含 C 。
D．若 A 与 B 对立， B 与 C 对立，则 A 与 C 对立．

解：由基本概念知道正确选项应该是 C．其他选项不成立，可以通过文氏图或简单的反例加以说明．

![图片](/uploads/2026-01/925269.jpg)
例如在选项 A 中取 $\mathrm{C}=\mathrm{A} ; \mathrm{B}$ 中取 $\mathrm{C}=\overline{\mathrm{A}} ; \mathrm{D}$ 中取 $\mathrm{C}=\mathrm{A}$ ，由此即知选项 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{D}$ 都不成立．

`例`  一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的 4 个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件 $A=$＂第一次摸出球的标号小于 3 ＂，事件 $B=$ ＂第二次摸出球的标号小于 3 ＂，那么事件 $A$ 与事件 $B$ 是否相互独立？

解：因为样本空间 $\Omega=\{(m, n) \mid m, n \in\{1,2,3,4\}$ ，且 $m \neq n\}$ ，

$$
\begin{aligned}
& A=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)\}, \\
& B=\{(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)\},
\end{aligned}
$$

所以

$$
P(\Lambda)=P(B)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}, \quad P(A B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} .
$$

此时 $P(A B) \neq P(A) P(B)$ ，因此，事件 $\Lambda$ 与事件 $B$ 不独立．

`例` 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 0.8 ，乙的中靶概率为 0.9 ，求下列事件的概率：
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设 $A=$＂甲中靶＂，$B=$＂乙中靶＂．从要求的概率可知，需要先分别求 $A, B$的对立事件 $\bar{A}, ~ \bar{B}$ 的概率，并利用 $A, B, \bar{A}, \bar{B}$ 构建相应的事件．

解：设 $A=$＂甲中靶＂，$B=$＂乙中靶＂，则 $\bar{A}=$＂甲脱靶＂， $\bar{B}=$＂乙脱靶＂．由于两个人射击的结果互不影响，所以 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $\bar{B}, \bar{A}$ 与 $B, \bar{A}$ 与 $\bar{B

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