最后更新: 2025-02-02 08:58 查看: 13 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

全微分的几何意义

三．全微分的几何意义（即切平面）
如前所述，多元函数在某一点存在偏导数只反映了函数在指定的坐标轴方向的变化率．即使函数在该点存在所有一阶偏导数，也不能保证函数在该点连续．然而，可微则保证连续．现在考察全微分的几何意义。

设 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 存在偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right)$ 和 $f_y\left(x_0, y_0\right)$ ．
先回顾前面关于偏导数的几何意义。
当 $y=y_0$ 时变动 $x$ 就得到在曲面 $z=f(x, y)$ 上的曲线，它就是曲面 $z=$ $f(x, y)$ 与平面 $y=y_0$ 的交线．该曲线在点 $P_0$ 的切向量是

$$
\tau _x=\left(1,0, f_x\left(x_0, y_0\right)\right)
$$

这可以从该曲线的参数形式 $x=x, y=y_0, z=f\left(x, y_0\right)$ 就可以得到．
同样，曲面 $z=f(x, y)$ 与 $x=x_0$ 的交线在点 $P_0$ 的切线是

$$
\tau _y=\left(0,1, f_y\left(x_0, y_0\right)\right)
$$

考虑三维空间的下列平面方程：
$$
Z=f\left(x_0, y_0\right)+f_x\left(x_0, y_0\right)\left(X-x_0\right)+f_y\left(x_0, y_0\right)\left(Y-y_0\right),
$$

它经过点 $P_0\left(x_0, y_0, f\left(x_0, y_0\right)\right)$ ．记该平面为 $\Pi$ ，其法向量是 $\pm n$ ，其中

$$
n =\left(f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right),-1\right)
$$

可以看出 $\tau _x \perp n$ 和 $\tau _y \perp n$ ，且有

$$
\tau _x \times \tau _y=\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
1 & 0 & f_x\left(x_0, y_0\right) \\
0 & 1 & f_y\left(x_0, y_0\right)
\end{array}\right|=-f_x\left(x_0, y_0\right) i -f_y\left(x_0, y_0\right) j + k =- n
$$

这表明以 $n$ 为法向量且过点 $P_0$ 的平面是由 $\tau _x$ 和 $\tau _y$ 决定的，而 $\tau _x$ 和 $\tau _y$ 都在平面 $\Pi$ 上。

现在设 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微，则有

$$
z=f(x, y)=f\left(x_0, y_0\right)+f_x\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y\left(x_0, y_0\right) \Delta y+o(r)(r \rightarrow 0)
$$

由此可见，

$$
z-Z=o(r)(r \rightarrow 0)
$$

即当点 $(x, y) \rightarrow(0,0)$ 时，曲面 $z=f(x, y)$ 与平面 $\Pi$ 在 $z$ 方向之差为高于一阶的无穷小量。

称平面 $\Pi$ 为曲面 $z=f(x, y)$ 过点 $P_0$ 的切平面．这里要指出，在一元函数中用割线的极限位置定义切线的方法在二元函数情况是无效的。

下面进一步刻画切平面的一个重要性质。考虑曲面 $z=f(x, y)$ 上经过点 $P_0$ 的曲线，则可以证明，如该曲线在点 $P_0$ 有切线，则该切线一定在上述切平面上．我们将它写成下列定理并给出证明．

定理 0.2 设 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微，记点 $\left(x_0, y_0, f\left(x_0, y_0\right)\right.$ 为 $P_0$ ，则在曲面上任何一条经过 $P_0$ 的曲线 $l$ 若在 $P_0$ 有切线，则此切线一定在切平面上．

证 设曲线 $l$ 的参数方程为 $x=x(t), y=y(t), z=$ $z(t), t \in I$ ．则曲线 $l$ 在曲面 $z=f(x, y)$ 上就等价于成立恒等式 $z(t) \equiv f(x(t), y(t))$ ，而曲线 $l$ 经过点 $P_0$ 则表明存在 $t_0 \in I$ ，使得 $x\left(t_0\right)=x_0, y\left(t_0\right)=y_0$ ， $z\left(t_0\right)=f\left(x_0, y_0\right)$ ．

设 $l$ 于点 $P_0$ 有切线，则切向量就是 $\tau=$ $\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right)$ ．需要证明的是 $\tau \perp n$ ．

为此只要对恒等式 $z(t)=f(x(t), y(t))$ 在点 $t=t_0$ 处用链式法则，就有

$$
z^{\prime}\left(t_0\right)=f_x\left(x\left(t_0\right), y\left(t_0\right)\right) x^{\prime}\left(t_0\right)+f_y\left(x\left(t_0\right), y\left(t_0\right)\right) y^{\prime}\left(t_0\right)
$$

由于 $x\left(t_0\right)=x_0, y\left(t_0\right)=y_0$ ，这就是 $\tau \perp n$ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/1db2b8.jpg)
 如右上图所示，在曲面上过点 $P_0$ 作出了三条曲线，其中两条分别为平面 $x=x_0$ 和 $y=y_0$ 与曲面的交线，它们在 $P_0$ 的切向量就是 $\tau _x$ 和 $\tau _y$ ．第三条曲线代表证明中过 $P_0$ 的任意曲线 $l$ ，它在点 $P_0$ 的切向量是 $\tau$ ．所有这些切向量都在切平面上。

注 只要 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 存在两个一阶偏导数，就可以定义经过点 $P_0$ 且以 $n$ 为法线的一张平面．但只有当 $f$ 在该点可微的条件下这张平面才具有切平面的性质，即 $z-Z=o(r)(r \rightarrow 0)$ ，同时具有定理 2 中的性质．这可以回顾本章的例 4 ．

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