最后更新: 2025-06-07 06:47 查看: 28 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

分歧图解与分歧类型

1．7．2 分歧图解与分歧类型
分歧图解是 $\mu y$ 平面上方程在分歧值附近的所有相线的图，用以强调当参数经过分歧值时相线所经历的变化．

在 $\mu y$ 平面上，记横轴为 $\mu$ 轴，竖轴为 $y$ 轴．过每个 $\mu$ 值作一条竖线给出方程相应于这个 $\mu$ 值的相线．如图 1.55 所示为 $\frac{ d y}{d t}=f_\mu(y)=y^2-2 y+\mu$ 的分歧图像．若把方程族相应的平衡点 $y$ 看成参数 $\mu$ 的函数，则其图像是 $\mu y$ 平面上由 $f_\mu(y)=y^2-2 y+\mu=0$ 所决定的拋物线．对于每个固定的 $\mu$ 值，拋物线上的点的 $y$值给出了方程 $\frac{ d y}{d t}=y^2-2 y+\mu$ 的平衡点．在分歧图解中，可以看到当 $\mu$ 从左到右经过分歧值 $\mu=1$ 时，方程的平衡点从两个变为一个再变为不存在，这种分歧一般称为鞍结点分歧（saddle－node bifurcation）．

![图片](/uploads/2025-06/60545d.jpg)
 
 
 考虑单参数微分方程族

$$
\frac{d y}{d t}=g_\alpha(y)=y^3-\alpha y
$$

其中，$\alpha$ 是参数．当 $\alpha>0$ 时，方程族的平衡点由 $y^3-\alpha y=0$ 所决定，当把平衡点 $y$ 看成参数 $\alpha$ 的函数时，有 $y=0$ 或 $y^2=\alpha$ 。方程有三个平衡点 $y=0, \pm \sqrt{\alpha}$ ；但当 $\alpha \leqslant 0$ 时，方程仅有一个平衡点 $y=0$ ．因此，在 $\alpha=0$ 时发生分歧，下面来研究它的分攱图解．首先，若 $\alpha<0$ ，则 $y^2-\alpha$ 总是正的，因而 $g_\alpha(y)=y^3-\alpha y=y\left(y^2-\alpha\right)$与 $y$ 的符号一样．当 $y(0)>0$ 时，解趋于 $\infty$ ；当 $y(0)<0$ 时，解趋于 $-\infty$ ．其次，若 $\alpha>0$ ，则在 $\sqrt{\alpha}<y<\infty,-\sqrt{\alpha}<y<0$ 时，$g_\alpha(y)>0$ ；在其他区间上 $g_\alpha(y)<0$ ．分歧图解如图 1.56 所示，当 $\alpha$ 从右到左经过分歧值 $\alpha=0$ 时，方程的平衡点由三个变为一个，这种分歧一般称之为音叉分歧（pitchfork bifurcation）．

现在考虑单参数微分方程族

$$
\frac{d y}{d t}=h_\lambda(y)=y^2-\lambda y
$$

其中，$\lambda$ 是参数．当 $\lambda=0$ 时，方程有一个平衡点；当 $\lambda \neq 0$ 时，方程有两个平衡点． $\lambda=0$ 是一个分歧值．虽然在分歧值的两侧方程都有两个平衡点，但平衡点的稳定性会改变．当 $\lambda>0$ 时，$y=0

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