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常微分方程
第一篇 一阶微分方程
分歧举例-远洋捕捞
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2025-06-07 06:49
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分歧举例-远洋捕捞
1.7.3 应用举例 现在来回答本节一开始提出的问题.具有捕获量 $h$ 的鱼的增长的 Logistic 模型为 $$ \frac{d P}{d t}=k P\left(1-\frac{P}{N}\right)-h $$ 其中,$k>0, N>0$ 是已知常数,而 $h$ 是捕获量参数. 当无捕获量,即 $h=0$ 时,由已有的对 Logistic 方程的知识知,只要一开始有鱼存在,则经过一定的时间后,鱼的总量就趋向于平衡点 $N$ 。也就是说,当禁止捕鱼时,鱼的总量最终将基本恢复到平衡状态 $P=N$ 。 现在令 $f_h(P)=k P\left(1-\frac{P}{N}\right)-h$ ,这是一个关于 $P$ 的二次函数。当 $h$ 从 0 开始增加时,$f_h=0$ 的两个实根逐渐靠拢而重合后,就变得无实根了,因而在 $f_h=0$仅有一个实根(两个相等的实根)的 $h$ 时,方程开始发生分歧,由两个平衡点开始过渡到无平衡点. 由 $k P\left(1-\frac{P}{N}\right)-h=
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