最后更新: 2025-10-17 17:23 查看: 125 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

球与球缺的体积

## 球的体积
如果球的半径是 $R$, 那么它的体积计算公式是

$$
\boxed{
V_{\text {球 }}=\frac{4}{3} \pi R^3
}
$$

**球体积的推导**
类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如下图,把球$O$的表面分成$n$个小网格，连接球心$O$和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个$n$个"小锥体"

![图片](/uploads/2025-10/48d526.jpg){width=300px}

当 $n$ 越大，每个小网格越小时，每个＂小锥体＂的底面就越平，＂小锥体＂就越近似于棱锥，其高越近似于球半径 $R$ ．设 $O-A B C D$ 是其中一个＂小锥体＂，它的体积

$$
V_{O-A B C D} \approx \frac{1}{3} S_{A B C D} R .
$$

由于球的体积就是这 $n$ 个＂小锥体＂的体积之和，而这 $n$ 个＂小锥体＂的底面积之和就是球的表面积．因此，球的体积

$$
V_{\text {球 }}=\frac{1}{3} S_{\text {球 }} R=\frac{1}{3} \times 4 \pi R^2 \cdot R=\frac{4}{3} \pi R^3 \text {. }
$$

由此，我们得到球的体积公式

$$
V_{\text {球 }}=\frac{4}{3} \pi R^3 \text {. }
$$

## 球缺的体积
**定义**
球冠和截得它的截面所围成的几何体叫做**球缺**, 球冠的高叫做球缺的高,截面叫做球缺的底面. 球带和截得它的两个截面所围成的几何体叫做**球台**, 球带的高叫做球台的高, 两个截面叫做球台的底面.

**球缺体积**
如果球的半径是 $R$, 球缺的高是 $h$, 那么球缺体积计算公式是:

$$
V_{\text {球缺 }}=\frac{1}{3} \pi h^2(3 R-h)
$$

球缺体积的推导

![图片](/uploads/2025-10/a5a37b.jpg){width=500px}
 
 参考上图，由祖晅原理可知，右边截面上部的部分圆柱，在它中间挖去一个圆台，然后剩下的部分的体积，和左边截面上部的球缺的体积相等。因此，

$$
\begin{aligned}
V_{\text {球缺 }} & =\pi R^2 h-\frac{1}{3} \pi h\left(R^2+l^2+R l\right) \\
& =\frac{2}{3} \pi R^2 h-\frac{1}{3} \pi h(R-h)(2 R-h)(\because l=R-h) \\
& =\frac{2}{3} \pi R^2 h-\frac{1}{3} \pi h\left(2 R^2-3 R h+h^2\right) \\
& =\pi h^2\left(R-\frac{1}{3} h\right)
\end{aligned}
$$

**推论**
若球缺底面半径是 $r$, 高是 $h$, 则球缺的体积是

$$
V_{\text {球缺 }}=\frac{1}{6} \pi h\left(3 r^2+h^2\right)
$$
 ![图片](/uploads/2024-11/e66e6f.jpg)

证明：如图 2.77 ，设截得球缺的球的半径是 $R$ ，由直角三角形 $O A H$ ，得到

$$
r^2=R^2-(R-h)^2=2 h R-h^2
$$

$\therefore \quad R=\frac{r^2}{2 h}+\frac{h}{2}$
将 $R$ 代入球缺体积公式，则有

$$
V_{\text {球缺 }}=\pi h^2\left(\frac{r^2}{2 h}+\frac{h}{2}-\frac{h}{3}\right)=\frac{1}{6} \pi h\left(3 r^2+h^2\right)
$$

球台的体积可以由计算两个球缺的差得到．

`例`如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．

![图片](/uploads/2025-10/0aa95f.jpg)
 
 
解：设球的半径为 $R$ ，则圆柱的底面半径为 $R$ ，高为 $2 R$ ．

$$
\begin{ali

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